Flachheit (Systemtheorie)

Flachheit in der Systemtheorie ist eine Systemeigenschaft, die den Begriff der Steuerbarkeit linearer Systeme auf nichtlineare Systeme ausweitet. Ein System, das die Flachheitseigenschaft besitzt, heißt flaches System. Flache Systeme besitzen einen Ausgang, so dass alle Zustands- und Eingangsgrößen sich vollständig anhand dieses flachen Ausgangs und einer endlichen Zahl seiner Zeitableitungen beschreiben lassen. Der Flachheitsbegriff der Systemtheorie basiert auf dem mathematischen Begriff Flachheit der kommutativen Algebra und findet Anwendung in der Regelungstechnik.

Definition

Ein nichtlineares dynamisches System

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t)), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \quad \mathbf{u}(t) \in R^m, \quad \mathbf{x}(t) \in R^n, \text{Rang} \frac{\partial\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})}{\partial\mathbf{u}} = m$

heißt flach, wenn es einen (virtuellen) Ausgang

$\mathbf{y}(t) = (y_1(t),...,y_m(t))$

gibt, der die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Die Größen y_i,i = 1,...,m lassen sich als Funktion der Zustände x_i,i = 1,...,n und Eingänge u_i,i = 1,...,m und einer endlichen Zahl von Zeitableitungen $u_i^{(k)}, k=1,...,\alpha_i$ ausdrücken: $\mathbf{y} = \Phi(\mathbf{x},\mathbf{u},\dot{\mathbf{u}},...,\mathbf{u}^{(\alpha)})$.

• Die Zustände x_i,i = 1,...,n bzw. Eingangsgrößen u_i,i = 1,...,m lassen sich als Funktion der y_i,i = 1,...,m und einer endlichen Zahl derer Zeitableitungen $y_i^{(k)}, i=1,...,m$ ausdrücken.

• Die Komponenten von $\mathbf{y}$ sind differentiell unabhängig, d.h. sie erfüllen keine Differentialgleichung der Form $\phi(\mathbf{y},\dot{\mathbf{y}},\mathbf{y}^{(\gamma)}) = \mathbf{0}$.

Sind diese Bedingungen mindestens lokal erfüllt, so heißt der möglicherweise fiktive Ausgang flacher Ausgang und das System heißt (differentiell) flach.

Bemerkung: Falls n = m gilt ist die dritte Bedingung immer erfüllt.

Bezug zur Steuerbarkeit linearer Systeme

Ein lineares System $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ mit bezüglich des nichtlinearen Systems identisch definierten Dimensionen für $\mathbf{x},\mathbf{u}$ ist genau dann flach, wenn es steuerbar ist. Für lineare Systeme sind beide Eigenschaften also äquivalent und austauschbar.

Bedeutung

Die Flachheitseigenschaft ist für die Analyse und Synthese nichtlinearer dynamischer Systeme nützlich. Sie ist besonders vorteilhaft für die Trajektorienplanung und asymptotische Folgeregelung nichtlinearer Systeme.

Literatur

• M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. International Journal of Control 61(6), pp. 1327-1361, 1995
• Hebertt Sira-Ramírez, Sunil K. Agrawal: Differentially Flat Systems (Control Engineering). CRC: 2004. ISBN 0-824-75470-0
• Rudolph, Joachim: Beiträge zur flachheitsbasierten Folgeregelung linearer und nichtlinearer Systeme endlicher und unendlicher Dimension. Shaker Verlag, Aachen 2003. ISBN 3-8322-1765-7

Siehe auch

• Regelkreis
• Regler