Ganzheitsring

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller algebraischen Zahlen.

Definition

Es sei K ein algebraischer Zahlkörper, d.h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring $\mathcal O_K$ von K definiert als der ganze Abschluss von $\mathbb Z$ in K, d.h. die Teilmenge derjenigen $x\in K$, die eine Gleichung der Form

$x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0$

mit $c_i\in\mathbb Z$ erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von xⁿ (der Leitkoeffizient des Polynoms $x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0$) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet das Polynom dann als normiert.

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von K ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf K.

Eigenschaften

• $\mathcal O_K$ ist ein Dedekindring.

Beispiele

• Ist $K=\mathbb Q(\mathrm i\sqrt3)$, so ist $\mathcal O_K$ der Ring der Eisenstein-Zahlen

$u + v\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2$ mit $u,v\in\mathbb Z.$

Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms

X² − (2u − v)X + (u² − uv + v²).

Erfüllt umgekehrt $x=a+b\mathrm i\sqrt3\in K$ die Polynomgleichung

x² + px + q = 0 mit $p,q\in\mathbb Z,$

so folgt p = − 2a und q = a² + 3b². Man kann zeigen, dass dann a + b und 2b ganzzahlig sind, also ist

$x = (a+b) + 2b\cdot\frac{-1+\mathrm i\sqrt3}2$

eine Eisenstein-Zahl.

• Ist $K=\mathbb Q(\mathrm i)$, so ist $\mathcal O_K$ der Ring der ganzen gaußschen Zahlen $\mathbb Z[\mathrm i]$.

• Allgemein sieht für den Ganzheitsring von $\mathbb Q(\sqrt{d})$ (wobei d ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:

$\{1,\sqrt{d} \}$ falls d kongruent 2 oder 3 mod 4

$\{1, \frac{1+\sqrt{d}}2 \}$ falls d kongruent 1 mod 4

• Bezeichnet ζ eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des n-ten Kreisteilungskörpers $\mathbb Q(\zeta)$ gleich $\mathbb Z[\zeta]$.

• Ist $K \,$ der Schiefkörper der rationalen Quaternionen (von lat. quaternio „Vierheit“)

$x := x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k$

mit rationalen Zahlen $x_0 \,$, $x_1 \,$, $x_2 \,$, $x_3 \,$, so ist $\mathcal O_K$ der Ring der Hurwitzquaternionen

$H = \left\{x_0+x_1\cdot\mathrm i+x_2\cdot\mathrm j+x_3\cdot\mathrm k \in K \mid x_0,x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{Z} \;\mbox{ oder }\, x_0,x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{Z} + \tfrac{1}{2}\right\}$.

Siehe auch

• Ordnung