Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät G über einem Körper k zusammen mit

  • einem Morphismus m\colon G\times G\to G (Multiplikation)
  • einem Morphismus i\colon G\to G (inverses Element)
  • und einem ausgezeichneten Punkt e\in G(k) (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • Assoziativgesetz: m\circ(m\times\mathrm{id}_G)=m\circ(\mathrm{id}_G\times m);
  • neutrales Element: m\circ(\mathrm{id}_G\times e)=\mathrm{id}_G=m\circ(e\times\mathrm{id}_G);
  • inverses Element: m\circ(i\times\mathrm{id}_G)\circ\Delta_G=e\circ\xi=m\circ(\mathrm{id}_G\times i)\circ\Delta_G; dabei ist \Delta_G\colon G\to G\times G die Inklusion der Diagonale und \xi\colon G\to k der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass (m,i,e) für jedes k-Schema T auf der Menge G(T) der T-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

  • Die additive Gruppe \mathbb G_{\mathrm a}: \mathbb G_{\mathrm a}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T) mit der Addition als Gruppenstruktur.
  • Die multiplikative Gruppe \mathbb G_{\mathrm m}: \mathbb G_{\mathrm m}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^\times) mit der Multiplikation als Gruppenstruktur.
  • Die allgemeine lineare Gruppe GLn: \mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T)); dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren n\times n-Matrizen mit Einträgen im Ring \Gamma(T,\mathcal O_T). GL1 kann mit \mathbb G_{\mathrm m} identifiziert werden.
  • Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.

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