Lie-Algebra sl(2,C)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra $sl(2,\C)$ der Prototyp einer einfachen Lie-Algebra. Die $sl(2,\C)$ ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die $sl(2,\C)$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe $SL(2,\C)$. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper $\C$ definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra su(2) und die Lie-Algebra $sl(2,\R)$.

Die Gruppe $SL(2,\C)$ spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überdeckung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen SO₀(3,1) ist. Die beiden Formen der $sl(2,\C)$ korrespondieren in der physikalischen Realisierung einer Transformation des Bezugssystems mit den drei Drehwinkeln und den drei Boost-Richtungen.

Kommutator-Relationen

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum $g=\langle \{x,y,h\} \rangle_{\C}$. Die $sl(2,\C)$ ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

$[x,y]=h \;\;\;\; [h,x]=2x \;\;\;\; [h,y]=-2y$

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2x2-Matrizen:

$x= \begin{pmatrix}0&1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \;\;\;\; y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \;\;\; \;\;\;\; h=\begin{pmatrix}1&0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$

Alternative Realisierung durch das Kreuzprodukt über $\C$³

Durch die Definition des Kreuzproduktes in $\C$³ und der folgenden Vektoren

$x=(1,\mathrm i,0)\;\;\; y=(-1,\mathrm i,0) \;\;\;\; h=(0,0,2\mathrm i)\;\;\;\;$

ergibt sich die gleiche Algebra:

$x\times y = h \;\;\;\; h \times x = 2x \;\;\;\; h \times y = -2y \;\;\;\;$