Astroide

Graph der Astroide

Animation der Astroide

Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine Kurve, die sich durch die Parametergleichungen

$x = a (\cos t)^3 \$

$y = a (\sin t)^3 \$

oder durch die implizite Gleichung

$|x|^{\frac{2}{3}} + |y|^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$

beschreiben lässt. Dabei ist a eine feste reelle Zahl, t der Parameter. Für den Flächeninhalt A gilt

$A = \frac{3}{8} \pi a^2$.

Die Länge $\ell$ eines Umlaufs ($0 \le t \le 2\pi$) beträgt

$\ell = 6|a|.$

Die Astroide ist auch ein Spezialfall der Hypozykloide. Sie stellt auch das Karo auf gewöhnlichen Spielkarten dar.

Schwerpunkt

Schwerpunkte der Astroiden
	Intervall	xS	yS
Ebenes Kurvenstück	0 ≤ t ≤ $\tfrac{\pi}{2}$	$\tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}$	$\tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}$
	0 ≤ t ≤ π	0	$\tfrac{3}{10}a^2 \sqrt{2-\sqrt{2}}$
Ebene Figur	0 ≤ t ≤ $\tfrac{\pi}{2}$	$\tfrac{256}{315} \pi a$	$\tfrac{256}{315} \pi a$
	0 ≤ t ≤ π	0	$\tfrac{256}{315} \pi a$
Drehkörper*	0 ≤ t ≤ $\tfrac{\pi}{2}$	$\tfrac{21}{128}a$	0

*Bei Rotation um die X-Achse (z_S = 0)

Schiefe Astroide

Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen

$x = a (\cos t)^3 \$

$y = b (\sin t)^3 \$

oder durch die implizite Gleichung

$\left|{\frac{x}{a}}\right|^{\frac{2}{3}} + \left|{\frac{y}{b}}\right|^{\frac{2}{3}} = 1$

beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Astroid. In: MathWorld. (englisch)
• Astroide bei 2dcurves.com (englisch)
• Stoner-Wohlfarth Astroiden Applet (Physik - englisch)