Potenzreihe


Potenzreihe

Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.

(a_n)_{n \in \mathbb N_0} ist hierbei eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. x0 wird als der Entwicklungspunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

  • nur für x = x0, oder
  • auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt x0 (komplexe Ebene), dem sogenannten Konvergenzkreis, oder
  • auf ganz \mathbb{R} bzw. \mathbb{C}.

Inhaltsverzeichnis

Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle x0 ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | xx0 | < r konvergiert. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe für alle x konvergiert, so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich. Konvergiert sie nur für x0, so ist der Konvergenzradius 0, dies wird manchmal auch nirgendskonvergent genannt.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius r mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

 r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

 r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,

sofern dieser Limes existiert. Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

  • |x-x_0|<r \Rightarrow Die Potenzreihe ist absolut konvergent.
  • |x-x_0|>r \Rightarrow Die Potenzreihe ist divergent.
  • |x-x_0|=r \Rightarrow Hier lassen sich keine allgemeinen Konvergenzaussagen treffen, dieser Fall ist für jedes x jeweils separat zu untersuchen (siehe hierzu auch: Abelscher Grenzwertsatz).
  • Ist |x-x_0|\leq r^{\prime}<r, so konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig für alle x mit |x-x_0|\leq r^{\prime}. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch immer eine gleichmäßige Konvergenz vor.

Operationen mit Potenzreihen

Addition und skalare Multiplikation

Sind f und g zwei Potenzreihen

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n

mit dem Konvergenzradius r und ist c eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch f + g und cf wieder Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens r und es gilt

f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n
cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .

Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius r ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius, der mindestens r ist. Es gilt

\begin{align}
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-x_0)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n
\end{align}

Die Folge \textstyle m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} ist dabei die Faltung der beiden Folgen (an) und (bn).

Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.


\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

Beispiele

Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe mit Konvergenzradius unendlich auffassen, wobei alle Koeffizienten an mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind auch Laurent-Reihen, Taylorreihen und die MacLaurin'sche Reihe. Hier noch beispielhaft die Reihenentwicklungen einiger bekannter Funktionen:

  • Logarithmusfunktion:  \ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k}= x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}+ \cdots
\quad \mathrm{f\ddot {u}r} \quad -1 < x \leq 1 , d. h. der Konvergenzradius ist 1. Für x = 1 ist die Reihe konvergent, für x = − 1 divergent.
  • Wurzelfunktion: \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3 - \cdots
\quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -1 \leq x \leq 1, d. h. der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für x = 1 als auch für x = − 1.

Literatur


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Potenzreihe — Potẹnzreihe,   Mathematik: eine unendliche Reihe der Form   Die fest vorgegebenen, im Allgemeinen komplexen Zahlen an sind die Koeffizienten der Potenzreihe (Potenzreihen mit endlich vielen Gliedern nennt man Polynome); z0 ist eine komplexe… …   Universal-Lexikon

  • Potenzreihe — laipsninė eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. power series vok. Potenzreihe, f rus. степенной ряд, m pranc. série en puissances, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Formale Potenzreihe — Formale Potenzreihen in der Mathematik sind ein Analogon zu den Potenzreihen der Analysis, ignorieren jedoch im Gegensatz zu diesen sämtliche Konvergenzfragen. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Weiterführende Themen …   Deutsch Wikipedia

  • Nichtkommutative Potenzreihe — Nichtkommutative Potenzreihen stellen eine Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren. Definition Sei eine Menge und das freie Monoid über . (Dann ist ) Sei R ein Ring. Der nichtkommuta …   Deutsch Wikipedia

  • Konvergenzradius — Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x0 | < r konvergiert: Dabei kennzeichnet sup das Supremum der Menge. Falls die Potenzreihe auf der ganzen… …   Deutsch Wikipedia

  • Formel von Cauchy-Hadamard — Als Konvergenzradius einer Potenzreihe der Form ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x0 | < r konvergiert. Falls sie auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius… …   Deutsch Wikipedia

  • Basis (Logarithmus) — Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail) Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau) …   Deutsch Wikipedia

  • Komplexer Logarithmus — Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail) Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau) …   Deutsch Wikipedia

  • Logarithmen — Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail) Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau) …   Deutsch Wikipedia

  • Logarithmieren — Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail) Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau) …   Deutsch Wikipedia