- Residuum (Funktionentheorie)
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In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Komplexe Gebiete
Sei ein Gebiet, Df isoliert in D und holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt eine punktierte Umgebung , die relativ kompakt in D liegt, mit f | U holomorph. Diesenfalls besitzt f auf U eine Laurententwicklung . Dann definiert man für das Residuum von f in a
- .
Riemannsche Zahlenkugel
Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel erweitern. Sei Df wieder eine diskrete Menge in und eine holomorphe Funktion. Dann ist für alle mit das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt. Für setzt man
wobei γ ein Kreis mit hinreichend großem Radius ist, der im Uhrzeigersinn orientiert ist, und c − 1 ist wie oben der -1. Koeffizient der Laurentreihe.
Eigenschaften und Anmerkungen
- Sei ein Gebiet und eine holomorphe Funktion in a. Dann kann der cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von f in a null ist.
- An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform f(z)dz sprechen kann.
- Nach dem Residuensatz ist die Summe aller Residuen null.
Praktische Berechnung
Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f,g im Punkt in der Praxis verwendet werden:
- Das Residuum ist -linear, d.h. für gilt:
- Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung, gilt:
- Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, gilt:
- Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt:
- Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, gilt:
- Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt:
- Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung, gilt: .
- Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: .
- Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt: .
- Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: .
- Ist das Residuum am Punkt zu berechnen, so gilt . Denn mit gilt
Die Regeln über die logarithmische Ableitung sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.
Beispiele
- Wie bereits erwähnt, ist , wenn f auf einer offenen Umgebung von a holomorph ist.
- Ist , so hat f in 0 einen Pol 1. Ordnung, und es ist .
- , wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn hat in 1 eine Nullstelle 1. Ordnung.
- Die fortgesetzte Gammafunktion hat in − n für Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist .
Algebraische Sichtweise
Es seien k ein Körper und X eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über k. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt eine kanonische Abbildung
die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in x zuordnet.
Ist x ein k-rationaler Punkt und t eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist ω eine meromorphe Differentialform und eine lokale Darstellung, und ist
die Laurentreihe von f, so gilt
Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall mit dem funktionentheoretischen überein.
Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform ω ist die Summe der Residuen null:
Quellen
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
- A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
- John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF
- Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.
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