Satz von Moivre-Laplace

Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Der Satz von Moivre-Laplace ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n \rightarrow \infty$ und Wahrscheinlichkeiten 0 < p < 1 gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann also die Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung verwendet werden, was vor allem bei Hypothesentests Anwendung findet. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes. Der Satz ist nach Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace benannt.

Ist S_n eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter n und 0 < p < 1, dann gilt

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}\left(\frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} < z\right) = \Phi(z)$.

Mit Hilfe einer Substitution sieht man, dass

$\lim_{n\to\infty}\left(\operatorname{P}(S_n < t) - \Phi \left( \frac{t - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)\right)=0.$

Dabei steht Φ(z) für die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung, die auch als Gaußsches Fehlerintegral bezeichnet wird. Werte für Φ(z) entnimmt man üblicherweise einer Tabelle.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen wenn n und p die folgende Bedingung erfüllen:^[1]

np(1 − p) > 9

Beispiel

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit n = 48 und $p=\tfrac 1 4$, damit gilt folglich np(1 − p) = 9. Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert μ = np = 12 und einer Varianz σ² = np(1 − p) = 9.

Einzelnachweis

1. ↑ Michael Sachs: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen. Fachbuchverlag Leipzig, München 2003, ISBN 3-446-22202-2, S. 129–130

Literatur

• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, S. 80–83
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger 8. Auflage. Vieweg+Teuber Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, S. 201 ff.

Weblinks

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)