Tabelle Standardnormalverteilung

Hinweis: Die Tabelle Standardnormalverteilung ist ein Ergänzungsartikel zu den Artikeln Normalverteilung und Zentraler Grenzwertsatz. Dargestellt ist die Tabelle der 0-1-Normalverteilung.

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Graph der halbseitigen Kurve von Φ_0;1(z)

Da sich das Integral der Normalverteilung

$F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt$

nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wird für die Berechnung meist auf Tabellen zurückgegriffen. Diese gelten aber nicht für beliebige μ- und σ-Werte, sondern nur für die standardisierte Form der gaußschen Verteilung, bei der jeweils μ = 0 und σ = 1 ist (man spricht auch von einer 0-1-Normalverteilung, Standardnormalverteilung oder normierten Normalverteilung). Trotzdem ist die Tabelle auch für beliebige μ-σ-Normalverteilung nützlich, da sich diese auf sehr einfache Weise in eine 0-1 Verteilung überführen lassen. Die folgende Tabelle der Standardnormalverteilung berechnet sich demnach durch

$\Phi_{0;1}(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt$

(weil μ = 0 und σ = 1) für $z\in\R$.

Flächeninhalte unter dem Graphen der Standardnormalverteilung

$\Phi_{0;1}(z)\,$ →

z \ *	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0*	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1*	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56356	0,56749	0,57142	0,57535
0,2*	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3*	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4*	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5*	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6*	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7*	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8*	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9*	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1,0*	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1*	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2*	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3*	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91309	0,91466	0,91621	0,91774
1,4*	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5*	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6*	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7*	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8*	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9*	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2,0*	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1*	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2*	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3*	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4*	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5*	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6*	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7*	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8*	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9*	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3,0*	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3,1*	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3,2*	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3,3*	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4*	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3,5*	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6*	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7*	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8*	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3,9*	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997
4,0*	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99997	0,99998	0,99998	0,99998	0,99998

Anmerkung: Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, weil Φ( − z) = 1 − Φ(z) ist. Das Sternchen * ist ein Platzhalter für die zweite Nachkommastelle, die in der jeweiligen Spaltenüberschrift angegeben ist.

Arbeiten mit der Tabelle

Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit Φ(z) für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges Φ( − z) = 1 − Φ(z) (und damit auch wegen der Symmetrie der gaußschen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von z zu finden.

Ist nun die Wahrscheinlichkeit Φ(z) für Werte von z im Intervall von 0 bis 4,09 gesucht, so steht z bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hundertstel findet sich in der Kopfzeile. Dort wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen steht die Wahrscheinlichkeit Φ(z).

Übersteigt z die Grenze von 4,09, dann gilt

$\Phi(z) \approx 1$, für z > 4,09.

Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige z gesucht ist. Hier muss derjenige Wert Φ(z) angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man z aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit 0,90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0,90658 (entspricht einem z von 1,32) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0,90824 (wobei dieser ein z von 1,33 ergäbe).

Anmerkung: Wurde eine beliebige μ-σ-Normalverteilung in die Standardnormalverteilung transformiert, so muss die in der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit nicht mehr rücktransformiert werden, da eine flächengleiche Transformation vorliegt! (Wurde hingegen z aus der Tabelle ermittelt, so muss die Grenze x noch durch x = zσ + μ berechnet werden.)

Beispielrechnung

Gegeben sei eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert μ von 5 und der Standardabweichung σ von 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsvariable X zwischen den Werten x₁ = 3 und x₂ = 7 liegt.

Betrachtet man die Gaußsche Glockenkurve, dann ist dies die Fläche unter dem Graphen der Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$, mit μ = 5 und σ = 2,

welche durch x₁ und x₂ begrenzt wird.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss die zu dieser Wahrscheinlichkeitsdichte gehörige Verteilungsfunktion

$F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt$

transformiert werden (was im Kapitel Transformation der Normalverteilung im Artikel Normalverteilung formal beschrieben ist). Durch die Transformation wird die Kurve mit dem Erwartungswert μ der Standardabweichung σ verschoben und gestaucht (bzw. gestreckt), sodass sie einer 0-1-Normalverteilung entspricht. Dabei verschieben sich aber auch die Grenzen x₁ und x₂, ebenfalls wird die Zufallsvariable X transformiert.

Dies geschieht durch

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ bzw. $Z= \frac {X-\mu}{\sigma}.$

(Das heißt bei der eigentlichen Berechnung müssen die Transformationsschritte der Verteilungsfunktion nicht durchgerechnet werden, sie dienen nur dem Verständnis, wie die z-Formel zustande kommt.)

Am Beispiel gezeigt:

$\begin{align} P(3 \leq X \leq 7) &=\\ &= P\left(\frac {x_1-\mu}{\sigma} \leq Z= \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {x_2-\mu}{\sigma}\right)\\ &= P(-1 \leq Z \leq 1)\\ &= P(Z \leq 1) - P (Z \leq -1)\\ &= \Phi(1) - \Phi(-1). \end{align}$

Während man nun den Wert für Φ(1) einfach aus der Tabelle bestimmen kann, muss man sich für Φ( − 1) überlegen, dass die gesuchte Fläche (bzw. Wahrscheinlichkeit) sich von $-\infty$ bis zur Grenze -1 erstreckt. Durch die Symmetrie der Glockenkurve ist dies allerdings derselbe Wert wie von +1 bis $\infty$. Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (= Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also Φ( + 1) abgezogen, das heißt

Φ( − 1) = 1 − Φ(1).

Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich

$\begin{align} \Phi(1) - \Phi(-1) &= \Phi(1)-(1-\Phi(1))\\ &= 2 \Phi(1) -1\qquad\Phi(1)\text{ in der Tabelle nachschlagen}\\ &= 2 \cdot 0{,}84134 -1\\ &= 0{,}68268, \end{align}$

das heißt die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt fast 70 Prozent.

Weblinks

 Wikibooks: Tabelle Standardnormalverteilung – Lern- und Lehrmaterialien