Burali-Forti-Paradoxon

Das Burali-Forti-Paradoxon beschreibt in der naiven Mengenlehre den Widerspruch, an dem die Bildung der Menge aller Ordinalzahlen scheitert. Es ist nach seinem Entdecker Cesare Burali-Forti benannt, der 1897 zeigte, dass eine solche "Menge aller Ordinalzahlen" selbst einer Ordinalzahl $\,\Omega$ entspräche, zu der eine größere Nachfolger-Ordinalzahl $\,\Omega + 1$ gebildet werden könnte, die kleiner oder gleich $\,\Omega$ wäre, woraus die unmögliche Ungleichung $\Omega < \Omega + 1 \leq \Omega$ folgte.

Georg Cantor beschrieb das Paradoxon unabhängig von Burali-Forti im Jahr 1899 als Verallgemeinerung der ersten Cantorschen Antinomie von 1897, mit der er nachwies, dass die Klasse aller Kardinalzahlen keine Menge ist.^[1] Diese Klasse kann als echte Teilklasse der Ordinalzahlen aufgefasst werden.

In der axiomatischen Zermelo-Mengenlehre oder Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) kann keine Menge aller Ordinalzahlen mehr gebildet werden, da hier nur eine eingeschränkte Mengenbildung mit dem Axiom der Aussonderung gestattet ist. In ZF verhindert auch das Fundierungsaxiom sich-selbst-enthaltende Mengen, zu denen die Menge aller Ordinalzahlen gehören würde, da die Elementrelation auf den Ordinalzahlen die Kleiner-Relation ist, wenn man die Ordinalzahl-Definition von John von Neumann zugrunde legt.^[2] Die Klasse der Ordinalzahlen kann hier keine Menge sein. In der Klassenlogik kann sie aber widerspruchsfrei gebildet werden. Dort liefert dann das Burali-Forti-Paradoxon den Beweis dafür, dass die Klasse der Ordinalzahlen keine Menge, sondern eine sogenannte echte Klasse ist.

Siehe auch

• Russellsche Antinomie

Literatur

• Burali-Forti, Cesare: Una questione sui numeri transfiniti, in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 11 (1897), Seite 154-164. Englische Übersetzung A question on transfinite numbers, in Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel, Cambridge, Massachusetts 1967, S. 104-112.

• Julien Linassier: Unendlich plus eins in Spektrum der Wissenschaft - Unendlich (plus eins). Ausgabe 2/2005, ISBN 3-938639-08-3, S. 36

• Erich Kamke: Mengenlehre, Sammlung Göschen 999, Berlin 1928 (1. Auflage), Berlin 1969 (6. Auflage)

Einzelnachweise

1. ↑ Brief vom 3. August 1899 an Dedekind, in: Cantor, Briefe, ed. H. Meschkowski und W. Nilson, Berlin Heidelberg New York 1991, S. 408. Oft werden frühere Jahreszahlen genannt, für die aber keinerlei Quellenbelege existieren.
2. ↑ Ableitung der Burali-Forti-Antinomie mit der Neumann-Definition