Betrag (Vektor)

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Der Betrag oder die Länge respektive die Norm ist eine Eigenschaft von Vektoren. Er ist ein Maß für die „Größe“ eines Vektors.

Schreibweise und Benennung

Wenn in einer Formel der Betrag eines Vektors statt des Vektors selbst gemeint ist, wird der Vektor zwischen senkrechte Striche geschrieben. Beispiel: $\left\|\vec v\right\|$ oder im $\mathbb{R}^{2}$ oftmals auch $\left|\vec v\right|$ . Diese Markierungen heißen auch (doppelte) Betragsstriche.

Während in der Physik für dreidimensionale Vektoren meist das Wort „Betrag“ verwendet wird, ist dieser Begriff in der Mathematik auf eindimensionale Zahlen eingeschränkt. Stattdessen wird für Elemente von mehrdimensionalen Vektorräumen mit euklidischer Norm das Wort „Länge“ verwendet. Das trifft insbesondere auf die euklidische Geometrie zu. Der allgemeinere Begriff ohne Bezug auf eine bestimmte Norm ist die „Norm“ eines Vektors.

Der Betrag eines Vektors im euklidischen Raum kann über den Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\left\|\vec a\right\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z ^2}$

Im Allgemeinen wird der Betrag eines Vektors über die Wurzel des Skalarprodukts gegeben:

$\left\|\vec a\right\| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}$

Beispiel Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit $\vec v$ ist in der klassischen Physik ein Vektor im euklidischen, dreidimensionalen Raum. Ihr Betrag ist daher die euklidische Norm des Vektors. Der Betrag kann aus den Komponenten des Vektors in kartesischen Koordinaten berechnet werden:

$\left\|\vec v\right\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z ^2}$

Literatur

• Hermann Schulz: Physik mit dem Bleistift. 7. Auflage. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a. M. 2009, ISBN 978-3-8171-1855-7.
• Hans-Joachim Kowalsky: Lineare Algebra. 9. Auflage. Verlag de Gruyter, Berlin 1979, ISBN 3-11-008164-4.