Niven-Konstante

Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der asymptotische arithmetische Mittelwert der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der Zahlen 1, 2, 3, …

Definition

Es sei m>1 eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung $m = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_k^{a_k}$ mit a_i > 0 und $p_i \neq p_j$ für $i \neq j$, außerdem H(1) = 1 und H(m) = max{a₁,...,a_k} das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von m (Folge A051903 in OEIS). Damit ist die Niven-Konstante definiert als

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n H(j) = 1 + \sum_{k=2}^\infty \biggl(1-\frac{1}{\zeta(k)}\biggr)$ = 1,70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816 07620 27651 65346 ... (Folge A033150 in OEIS)

wobei ζ(k) die Riemannsche Zetafunktion ist (Niven 1969).^[1]

Für die Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős

$\sum_{j=1}^n h(j) = n + \frac{\zeta(3/2)}{\zeta(3)} \sqrt{n} + o(\sqrt{n}),$

wobei h(1) = 1 und h(m) = min{a₁,...,a_k} das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von m (Folge A051904 in OEIS) und o ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n h(j) = 1.$

Literatur

• Steven R. Finch: Niven’s constant, Kapitel 2.6 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Niven’s Constant. In: MathWorld. (englisch)
• The Niven constant is 1 + Sum(1-1/Zeta(n),n=2..infinity) bei Plouffe’s Inverter (englisch)
• Folge A033151 in OEIS (Kettenbruchentwicklung der Niven-Konstante)