Funktionenkörper

Funktionenkörper

(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische Definition

Es sei k ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper K / k von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von k in K heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische Definition

Ist X ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper k, so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von X. Er ist ein Funktionenkörper im algebraischen Sinne über k.

Beispiel

Die rationalen Funktionen auf einer Varietät bilden einen Funktionenkörper. Dieser heißt Rationaler Funktionenkörper.


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