Generischer Punkt

Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

Ein Punkt η eines topologischen Raumes X heißt generisch, wenn X der Abschluss der Teilmenge {η} ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass η in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften

• Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
• Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T₀, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
• In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
• Ist x ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes X, so ist der Abschluss von {x} in X eine irreduzible Teilmenge Y von X, und x ist ein generischer Punkt von Y.

Beispiel aus der algebraischen Geometrie

Ist A ein Integritätsring, so ist das Nullideal {0} der (einzige) generische Punkt des Spektrums $\operatorname{Spec}A$; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von A.

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Ist X ein irreduzibles Schema und η sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von X äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für η. Ist beispielsweise M eine kohärente Garbe auf X, so ist M_η = 0 äquivalent dazu, dass M_x = 0 für alle x in einer geeigneten offenen Teilmenge von X.

Verwandte Begriffe

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.