Kreuzkorrelation


Kreuzkorrelation

In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy(τ) zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale x(t) und y(t) bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen τ zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Es gilt:


R_{xy}(\tau) = \lim_{T_F \to \infty} \frac{1}{T_F}\int_{-T_F/2}^{T_F/2} x(t) \cdot y(t + \tau) \,\mathrm dt

Eigenschaften:

R_{xy}(\tau) = R_{yx}(-\tau)\; \forall \tau

und

\left| R_{xy} \right| \leq \sqrt{R_{xx}(0)R_{yy}(0)} \leq \frac{1}{2} (R_{xx}(0)+ R_{yy}(0))

sowie

\lim \limits_{\tau \to \pm \infty} R_{xy}(\tau)=0\;

mit den Autokorrelationsfunktionen R_{xx}(\tau)\; und R_{yy}(\tau)\; und der betrachteten Zeitfensterlänge T_F\ .

Die Funktion ist weder gerade noch ungerade. Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals x(t) zum Messort des Signals y(t) entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums SXY(f) ermittelt:

 R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XY}(f) \cdot e^{\mathrm{i} 2 \pi f \tau} \,\mathrm df

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