Lineares System (Systemtheorie)


Lineares System (Systemtheorie)

In der Systemtheorie ist ein lineares System ein Modell für einen hinreichend gut isolierten Teil der Natur, in dem alle auftretenden Funktionen lineare Abbildungen sind.

Ein lineares System besteht aus inneren Zustandsgrößen und einer Dynamik, die die zeitliche Entwicklung dieser Zustandsgrößen beschreibt. Weiterhin gibt es beobachtbare Größen, die aber nur Funktionen der inneren Zustandsgrößen sind und den inneren Zustand nicht eindeutig charakterisieren. Von außerhalb des isolierten Bereichs gibt es Wechselwirkungen, die zwar als schwach angenommen werden, aber dennoch die innere Dynamik modifizieren.

Allgemein lässt sich ein lineares System mit innerem Zustand x(t), äußeren Einflüssen u(t) und Beobachtungen y(t) darstellen als

\begin{align}
  \dot x(t) &=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\
  y(t)      &=C(t)x(t)+D(t)u(t),
\end{align}

wobei A, B, C, D zeitabhängige Matrizen passender Dimension sind, insbesondere müssen A und D quadratisch sein. Die Matrizen können zu einer Blockmatrix zusammengefasst werden, welche dann Systemmatrix heißt.

Ein lineares System heißt lineares zeitinvariantes System (LZI-System), wenn die Systemmatrix nicht von der Zeit t abhängt.

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