Umtauschparadoxon

Das Umtauschparadoxon (oder Briefumschlagparadoxon) beschreibt eine spezielle mathematische Situation, bei der das naive Rechnen mit Erwartungswerten, insbesondere die Anwendung des Indifferenzprinzips, zu einem Widerspruch mit dem gesunden Menschenverstand führt. Es hat Ähnlichkeit mit dem Zwei-Zettel-Spiel und dem Ziegenproblem, dieses hat jedoch einen anderen wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund.

Geschichte

Das Umtauschparadoxon lässt sich zumindest bis 1953 zurückverfolgen und wurde damals in einem Buch des belgischen Mathematikers Maurice Kraitchik sinngemäß folgendermaßen formuliert:

Zwei gleich wohlhabende Personen treffen einander und wollen die Inhalte ihrer Geldbörsen vergleichen. Keiner weiß, wie viel Geld der andere in der Börse hat. Sie vereinbaren folgendes Spiel: Derjenige, der weniger Geld in der Börse hat, gewinnt den Inhalt der Geldbörse des anderen. Falls beide gleich viel haben sollten, behält jeder sein Geld. Nun könnte einer der beiden folgende Überlegung anstellen: „Angenommen, ich habe den Betrag A in meiner Börse. Dann ist das das Maximum, das ich verlieren kann. Mit Wahrscheinlichkeit 0,5 gewinne ich allerdings und habe danach mehr als 2A. Daher ist das Spiel günstig für mich.“ Der andere könnte allerdings genauso argumentieren. Aus Symmetriegründen muss das Spiel aber fair sein. Worin liegt der Trugschluss dieser Argumentation?^[1]

Martin Gardner verbreitete das Rätsel 1982 in seinem Buch Aha! Gotcha, ebenfalls in der Gestalt eines Geldbörsenspiels.^[2]. Die heutige Form mit den beiden Briefumschlägen wurde 1989 von Barry Nalebuff formuliert.^[3]

Die Umtauschsituation

Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und gibt ihm zwei Briefumschläge mit den Worten „Ich schenke Ihnen einen dieser Umschläge. In beiden befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen. Sie dürfen einen Umschlag öffnen und dann entscheiden, welchen der beiden Umschläge Sie nehmen.“

Herr Schmidt öffnet zufällig einen der beiden Umschläge, findet zum Beispiel 100 Euro und überlegt: „Ich habe in diesem Umschlag 100 Euro. Wenn ich tausche, habe ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% 200 Euro und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 50 Euro. Dies macht einen Erwartungswert von 125 Euro.“

$125 = 0{,}5 \cdot 50 + 0{,}5 \cdot 200$

Nach dieser Überlegung würde sich das Tauschen lohnen.

Das Paradoxon

Wenn die Rechnung von Herrn Schmidt für jeden beliebigen Betrag das Ergebnis liefert, dass sich Tauschen lohnt, so braucht er den Umschlag gar nicht zu öffnen, sondern kann gleich den anderen Umschlag nehmen. Es kann aber nicht sein, dass der andere Umschlag immer besser ist, da ja beide Umschläge vor dem Öffnen offensichtlich gleichwertig sind.

Die Denkfalle

Die Denkfalle besteht darin, dass Herr Schmidt das Indifferenzprinzip falsch anwendet, also davon ausgeht, dass die 100 Euro mit einer 50-50-Wahrscheinlichkeit den halben oder den doppelten Betrag darstellen. Abhängig von Herrn Lemkes Auswahlverfahren kann das für diesen Betrag richtig sein, jedoch nicht für alle Beträge. Zunächst wird tatsächlich mit einer 50%-Wahrscheinlichkeit der Umschlag mit dem kleineren oder größeren Betrag geöffnet. Es handelt sich daher entweder um die 50/100-oder um die 100/200-Euro-Kombination. Nur wenn die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Kombinationen gleich sind, hat Herr Schmidt mit seinen Überlegungen recht. Über die Wahrscheinlichkeiten dieser Fälle ist aber nichts bekannt. Da die Anzahl von denkbaren Fällen unendlich groß ist, können diese Wahrscheinlichkeiten nicht alle gleich sein. Das Indifferenzprinzip ist also ausgehend von einem aufgedeckten Betrag x auf die Ereignisse „doppelter Betrag“ (2x) und „halber Betrag“ (x/2) aus grundsätzlichen Erwägungen heraus nicht anwendbar. In der Denkfallen-Sammlung ^[4] wird das an ein paar Rechenbeispielen weiter verdeutlicht.^[5]

Analyse mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Die Rechnung mit einer 50-50-Wahrscheinlichkeit entspringt also einer unzulässigen Anwendung des Indifferenzprinzips. Die Berechnung des Erwartungswertes könnte aber auch bei anderen Wahrscheinlichkeiten zu dem Paradoxon führen, dass ein Tausch immer angezeigt wäre. Um allgemein eine sinnvolle Tauschentscheidung zu treffen, muss sich Hr. Schmidt vor Augen halten, dass er bedingte Wahrscheinlichkeiten verwenden muss, wenn er den Betrag im geöffneten Umschlag in seine Rechnung einbezieht. Der folgende Abschnitt enthält eine formale Analyse, ob bei einer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Tausch für gewisse Beträge sinnvoll sein kann, und ob es überhaupt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung geben kann, bei der ein Tausch immer angezeigt ist. Ob diese Wahrscheinlichkeitsverteilung eine subjektive Einschätzung von Herrn Schmidt ist oder ob eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Beträge tatsächlich bekannt ist, ist für die Analyse unwesentlich.^[6] Dazu kann beispielsweise folgende Notation verwendet werden:

• die Zufallsgröße Z bezeichnet den kleineren Betrag in den Umschlägen (im anderen Umschlag befindet sich dann der Betrag 2Z).
• p_n = P(Z = n) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass der kleinere Betrag in den Umschlägen gleich n ist. Zur Vereinfachung der Rechnung wird lediglich eine diskrete Verteilung verwendet. Eine Analyse von kontinuierlichen Verteilungen ist aber auf die gleiche Weise möglich.^[6]
• X bezeichnet die Zufallsgröße des Betrags, den Herr Schmidt im zuerst geöffneten Briefumschlag findet.
• Y bezeichnet die Zufallsgröße des Betrags, der im anderen noch ungeöffneten Umschlag ist.

Da beide Umschläge mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt werden, gilt für die Erwartungswerte EX = EY = 3EZ / 2. Hr. Schmidt will offensichtlich die Erwartung von Y berechnen, wenn er X kennt. Dabei muss er beachten, dass wegen X + Y = 3Z die beiden Zufallsgrößen X und Y voneinander stochastisch abhängig sind. Hr. Schmidt will also die bedingte Erwartung von Y abhängig von X berechnen. Im Fall von diskreten Zufallsvariablen lautet dann eine passende Formel^[7]

E(Y | X = n) =	∑	yjP(Y = yj | X = n)
	j

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Y = y_j | X = n) ist laut Problemstellung nur dann von Null verschieden, wenn entweder y_j = 2n oder y_j = n / 2. In diesen Fällen gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt den doppelten Betrag im anderen Briefumschlag findet,

$\begin{align} P\left(Y=2n|X=n\right) &= P\left(Z=n|X=n\right)\\ &= \frac{P\left(Z=n\text{ und }X=n\right)}{P\left(X=n\right)}\\ &= \frac{\frac{1}{2}P\left(Z=n\right)}{\frac{P\left(Z=n\right)}{2}+\frac{P\left(Z=n/2\right)}{2}}\\ &= \frac{p_n}{p_n+p_{n/2}}, \end{align}$

und für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schmidt den halben Betrag im anderen Briefumschlag findet

$\begin{align} P\left(Y=n/2|X=n\right) &= P\left(Z=n/2|X=n\right)\\ &= \frac{P\left(Z=n/2\text{ und }X=n\right)}{P\left(X=n\right)}\\ &= \frac{\frac{1}{2}P\left(Z=n/2\right)}{\frac{P\left(Z=n\right)}{2}+\frac{P\left(Z=n/2\right)}{2}}\\ &= \frac{p_{n/2}}{p_n+p_{n/2}}. \end{align}$

Sofern der Erwartungswert der Verteilung mit den korrekten Wahrscheinlichkeiten existiert, erhielte man

$E=2n\frac{p_n}{p_n+p_{n/2}}+\frac{n}{2}\frac{p_{n/2}}{p_n+p_{n/2}}=\frac{4p_n+p_{n/2}}{2\left(p_n+p_{n/2}\right)}n.$

Zu tauschen würde sich demnach genau dann auszahlen, wenn E > n gilt; dies ist genau dann der Fall wenn $p_n > \frac{p_{n/2}}{2}$. Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich zwar konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert, sodass die oben angedeutete Argumentation, die zu einem Widerspruch führt, bereits aus formalen Gründen unzulässig ist.

Zudem widerspricht die Annahme, dass beliebig hohe Beträge im Umschlag sein können, der praktischen Einschränkung, dass niemand, also auch nicht Hr. Lemke, unendlich viel Geld zur Verfügung hat.

Beispiel

Wenn man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt, mit der Herr Lemke das Geld in die Briefumschläge verteilt, lässt sich die Geschichte sehr gut simulieren. Beispielsweise sei angenommen, er bestimmt den Betrag mit dem Wurf von einem fairen Würfel. Zeigt der Würfel k Augen, so steckt er $2^{k-1} \cdot 25$ Euro in den einen und $2^k \cdot 25$ Euro in den anderen Umschlag. Herr Schmidt findet dann mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{12}$ den Betrag 25 Euro im Umschlag, mit Wahrscheinlichkeit je $\tfrac{2}{12}$ einen der Beträge 50, 100, 200, 400 oder 800 Euro, und wieder mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{12}$ den Betrag 1600 Euro. Tauscht er nicht, so beträgt der Erwartungswert des Geldgeschenkes also

$\tfrac{1}{12}\left(25+2\cdot 50+2\cdot 100+2\cdot 200+2\cdot 400+2\cdot 800+ 1600\right) = 393{,}75\text{ Euro.}$

Tauscht Herr Schmidt in jedem Fall, so ändert sich sein Erwartungswert nicht, da er insbesondere auch den Betrag von 1600 Euro tauscht, obwohl er in diesem Fall nichts gewinnen kann. Vermutet Herr Schmidt aber, dass wohl kaum mehr als 1000 Euro im Umschlag sind, und entscheidet sich daher, dann und nur zu tauschen, wenn höchstens 500 Euro im Umschlag sind, so ändern sich die Wahrscheinlichkeiten: Nach dem Tausch hat Herr Schmidt dann weiterhin mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{12}$ den Betrag 25 Euro im Umschlag, ebenso mit Wahrscheinlichkeit je $\tfrac{2}{12}$ einen der Beträge 50, 100, oder 200 Euro, den Betrag von 400 Euro allerdings nur mehr mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{12}$ (da Herr Schmidt bei 800 Euro nicht mehr tauscht), dafür aber mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{3}{12}$ den Betrag von 800 Euro, und wieder mit Wahrscheinlichkeit $\tfrac{1}{12}$ den Betrag 1600 Euro. Der Erwartungswert des Geldgeschenkes ist nun also

$\frac{1}{12}\left(25+2\cdot 50+2\cdot 100+2\cdot 200+1\cdot 400+3\cdot 800+ 1600\right) = 427{,}08\text{ Euro.}$

Schätzt Herr Schmidt die Situation besser ein und beschließt, erst ab 1000 Euro aufs Tauschen zu verzichten, kann er den Erwartungswert sogar auf 460,62 Euro erhöhen; wird er aber zu gierig und tauscht beispielsweise bis zu 2000 Euro, so fällt er wieder auf den Ausgangswert 393,75 Euro zurück.

Für Herrn Schmidt ist es natürlich schwierig, Herrn Lemke richtig einzuschätzen; wesentlich ist aber, dass das Paradoxon verschwindet, sobald man irgendeine konkrete Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt. Je nach Tauschstrategie von Herrn Schmidt ändert sich der Erwartungswert des Geldgeschenks; die Strategie „Tausche immer“ ist aber gleich gut (oder schlecht) wie die Strategie „Tausche nie“.

Anwendung des Zwei-Zettel-Spiels

In obigem Beispiel wurde angenommen, dass bekannt ist, nach welchem Prinzip die Geldbeträge verteilt sind. Unter dieser Annahme lassen sich leicht Gewinnstrategien angeben. Die Problemformulierung enthält aber keine Information über die Verteilung. Es gibt allerdings auch eine allgemeine Gewinnstrategie für Herrn Schmidt, die diese Annahme nicht benötigt. Diese Strategie besteht darin, dass Herr Schmidt, bevor er den Umschlag öffnet, eine Zufallszahl S wählt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von S muss dabei eine Dichte haben, die zwischen 0 und unendlich echt größer 0 ist, ist ansonsten aber beliebig. Dann öffnet er den Umschlag und findet den Betrag n. Ist der gefundene Betrag n kleiner gleich S, so tauscht er den Umschlag; ist der Betrag n größer als S, so behält er den Umschlag. Diese Strategie geht auf Thomas M. Cover zurück.^[8] Wie im Artikel Zwei-Zettel-Spiel erklärt, erhöht er so theoretisch seine Chancen, den größeren Betrag zu erhalten.^[9][10]

Angenommen, Hr. Schmidt entschließt sich das Zwei-Zettel-Spiel anzuwenden. Enthalten die Briefumschläge die Beträge Z und 2Z und öffnet Hr. Schmidt zuerst den Umschlag mit Inhalt Z, so wechselt er, falls $S\geq Z$. Die bedingte Erwartung seines Gewinns beträgt dann

$\begin{align} E_{Z;Z} &= P(S\geq Z)\cdot 2Z+P(S<Z)\cdot Z\\ &= P(S\geq Z)\cdot 2Z+\left(1-P(S\geq Z)\right)\cdot Z\\ &= Z\left( 1 + P(S\geq Z)\right). \end{align}$

Öffnet er zuerst den Umschlag mit Inhalt 2Z, so wechselt er, falls $S\geq 2Z$. Die bedingte Erwartung seines Gewinns beträgt dann

$\begin{align} E_{2Z;Z} &= P(S\geq 2Z)\cdot Z+P(Z<2Z)\cdot 2Z\\ &= P(S\geq 2Z)\cdot Z+\left(1-P(S \geq 2Z)\right) \cdot 2Z\\ &= Z\left(2-P(S \geq 2Z)\right). \end{align}$

Insgesamt beträgt die bedinge Erwartung bei fixen Inhalten, aber vor der Wahl des ersten Umschlags

$\begin{align} E_{Z} &=\frac{E_{Z;Z}+E_{2Z;Z}}{2}\\ &=\frac{3}{2}Z + \frac{Z}{2}\Big(P(S\geq Z)-P(S\geq 2Z)\Big)\\ &=\frac{3}{2}Z + \frac{Z}{2}P(Z\leq S < 2Z). \end{align}$

Tauscht er immer oder tauscht er nie, beträgt sein Erwartungswert

$\frac{Z+2Z}{2}=\frac{3}{2}Z.$

Bei Anwendung des Zwei-Zettel-Spieles ist der Erwartungswert also um

$\frac{Z}{2}P(Z\leq S < 2Z)$

höher als bei der "Tausche-nie" oder "Tausche-immer"-Vorgangsweise.

Beispiel

Für S wählt Hr. Schmidt beispielsweise eine Zufallsvariable S, die exponentialverteilt mit Erwartungswert 1000 ist, also $P(S\geq s)=\exp(-s/1000)$. Falls die Geldbeträge wie im oben angegebem Beispiel verteilt sind, ergibt sich insgesamt folgender Erwartungswert des Geldgeschenkes:

	Z	2Z	pZ	$P(S\geq Z)$	EZ;Z	$P(S\geq 2Z)$	E2Z;Z	EZ	3Z / 2	$p_Z\cdot E_{Z}$
	25	50	1/6	0,975	49,382	0,951	26,219	37,801	37,5	6,300
	50	100	1/6	0,951	97,561	0,904	54,758	76,160	75,0	12,693
	100	200	1/6	0,904	190,484	0,819	118,127	154,305	150,0	25,718
	200	400	1/6	0,819	363,746	0,670	265,936	314,841	300,0	52,473
	400	800	1/6	0,670	688,128	0,449	620,268	644,198	600,0	107,366
	800	1600	1/6	0,449	1159,463	0,202	1438,483	1298,973	1200,0	216,496
Summe			1							421,046

Der Erwartungswert des Geldgeschenkes beträgt bei dieser Vorgangsweise also 421,046 Euro. Das ist zwar weniger als bei der optimalen Strategie (tausche bei weniger als 1000 EUR), bei der der Erwartungswert 460,62 Euro beträgt; aber jedenfalls mehr als bei der "Tausche-nie" oder "Tausche-immer"-Vorgangsweise, bei der der Erwartungswert 393,75 beträgt. Wie aus der Tabelle ersichtlich, ist in jeder Zeile E_Z größer als $\frac{3}{2}Z$. Der genaue Erwartungswert hängt natürlich stark von der Wahl der Verteilung von S ab, ist aber immer echt größer als bei der "Tausche-nie" oder "Tausche-immer"-Vorgangsweise.

Siehe auch

Verwandte Themen, bei denen man aus Teilinformation die optimale Entscheidung des Restproblems treffen kann:

• Gefangenenparadoxon
• Odds-Strategie
• Sekretärinnenproblem
• Ziegenproblem
• Zwei-Zettel-Spiel

Weblinks

• Stefan Bartz: Denkfallen vermeiden - Am Beispiel des Umtauschproblems (PDF-Datei; 281 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Maurice Kraitchik, La mathématique des jeux, 1953
2. ↑ Martin Gardner, Aha! Gotcha, 1982
3. ↑ Barry Nalebuff, Puzzles: the other person's envelope is always greener, Journal of Economic Perspectives 3, 1989
4. ↑ Denkfallen und Paradoxa
5. ↑ Denkfallen und Paradoxa: Umtauschparadoxon (Briefumschlag-Paradoxon)
6. ↑ ^{a b} David J. Chalmers, The Two-Envelope Paradox: A Complete Analysis?
7. ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. S 246, 6.3.5 (2)
8. ↑ Franz Thomas Bruss,Der Ungewissheit ein Schnippchen schlagen, Spektrum der Wissenschaft, 6/2000. 106-107. pdf
9. ↑ R Christensen and J Utts, Bayesian Resolution of the Exchange Paradox, The American Statistician 1992
10. ↑ Dov Samet, Iddo Samet, and David Schmeidler, One Observation behind Two-Envelope Puzzles (PDF)