Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt einen Überblick über die bekanntesten univariaten (eindimensionalen) Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable verteilen. Dabei unterscheidet man zwischen diskreten Verteilungen, die auf einer endlichen oder abzählbaren Menge definiert sind, und stetigen (kontinuierlichen) Verteilungen, die meist auf Intervallen definiert sind.

Diskrete Verteilungen lassen sich durch ihre Zähldichte beschreiben. Diese gibt für jeden der maximal abzählbar vielen Werte $x$ einer Zufallsvariablen $X$ die Wahrscheinlichkeit an, dass man genau diesen Wert erhält.

Bei stetigen Verteilungen lassen sich die Wahrscheinlichkeiten einzelner Werte nicht angeben, da diese stets die Wahrscheinlichkeit $0$ besitzen. Es ist jedoch oft möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $X$ einen Wert in einem Intervall $[a, b]$ annimmt, als Integral über eine Dichtefunktion (oder Wahrscheinlichkeitsdichte) $f (x)$ darzustellen:

$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$

Bei den in dieser Liste aufgenommenen stetigen Verteilungen ist eine solche Darstellung über eine Dichtefunktion möglich.

Diskrete Verteilungen

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Wahrscheinlichkeitsfunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden diskreten Verteilungen zusammen:

Diskrete Gleichverteilung
Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)
Binomialverteilung
Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)
Geometrische Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
Poisson-Verteilung
Logarithmische Verteilung

Es bezeichne $\lceil . \rceil$ die Aufrundungsfunktion, $\lfloor . \rfloor$ die Abrundungsfunktion und $X$ jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable.

Diskrete Gleichverteilung

Wertebereich der Parameter:	$n \in \N$ , $k_i \in \R \; (i=1, \dots, n)$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Auf $\{1,2,\dots,20\}$ , d.h. $n = 20$
Ergebnismenge:	$\Omega = \{k_i:i = 1, \dots , n\}$
Zähldichte:	$f(k) = \frac 1n$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \frac{\|\{i:x_i \le k\}\|}{n}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \frac{\|\{i:x_i < k\}\|}{n}$
Erwartungswert:	$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$
Varianz:	$\frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i\right)^2\right)$

Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	$p \in [0,1]$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $p = 0.2$ (blau), $p = 0.5$ (grün) und $p = 0.8$ (rot)
Ergebnismenge:	$Ω = {0,1}$
Zähldichte:	$f(k) = \begin{cases}p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k = 1\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k=0\end{cases}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k < 0\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ 0 \le k<1 \\ 1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k\ge 1 \end{cases}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \begin{cases}0 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k \le 0\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ 0 < k \le 1 \\ 1 & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k> 1 \end{cases}$
Erwartungswert:	$p$
Varianz:	$p (1 - p)$

Binomialverteilung

Wertebereich der Parameter:	$n \in \N^+$ , $p \in [0,1]$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $n = 20$ ; $p = 0.1$ (blau), $p = 0.5$ (grün) und $p = 0.8$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\{0,1,\dots,n\}$
Zähldichte:	$f(k) = {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor}\binom n i p^i (1-p)^{n-i}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \sum_{i=0}^{\lceil k-1 \rceil}{n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}$
Erwartungswert:	$n p$
Varianz:	$n p (1 - p)$

Negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	$r \in \N^+$ , $p \in ]0,1]$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $r = 10$ ; $p = 0.2$ (blau), $p = 0.5$ (grün) und $p = 0.8$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\{x \in \N \colon x \ge r \}$
Zähldichte:	$P(\{X = k\}) = {{k-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{k-r}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \sum_{i=r}^{\lfloor k \rfloor}{i-1 \choose r-1}p^r (1-p)^{i-r}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \sum_{i=r}^{\lceil k-1 \rceil}{i-1 \choose r-1}p^r (1-p)^{i-r}$
Erwartungswert:	$\frac{r}{p}$
Varianz:	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

Geometrische Verteilung

Variante A

Wertebereich der Parameter:	$p \in ]0,1[$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $p = 0.2$ (blau), $p = 0.5$ (grün) und $p = 0.8$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\N^+$
Zähldichte:	$f (k) = p (1 - p) k - 1$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = 1 - (1-p)^{\lfloor k \rfloor}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = 1 - (1-p)^{\lceil k-1 \rceil}$
Erwartungswert:	$\frac{1}{p}$
Varianz:	$\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}$

Variante B

Wertebereich der Parameter:	$p \in ]0,1[$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $p = 0.2$ (blau), $p = 0.5$ (grün) und $p = 0.8$ (rot)
Ergebnismenge:	$\N_0$
Zähldichte:	$f (k) = p (1 - p) k$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = 1 - (1-p)^{\lfloor k+1 \rfloor}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = 1 - (1-p)^{\lceil k \rceil}$
Erwartungswert:	$\frac{1}{p}-1$
Varianz:	$\frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}$

Hypergeometrische Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$N \in \N^+$ , $M \in \N^+$ mit $M \le N$ , $n\in \N^+$ mit $n \le N$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $n = 20$ ; $M = 20, N = 30$ (blau), $M = 50, N = 60$ (grün) und $M = 20, N = 60$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\{0, 1, \dots, M\}$
Zähldichte:	$f(k) = \frac{\displaystyle{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle{N \choose n}}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lfloor k \rfloor} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \sum_{i=\max(0,n-N)}^{\lceil k-1 \rceil} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }$
Erwartungswert:	$n \frac{M}{N}$
Varianz:	$n \frac{M}{N} \left(1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}$

Poisson-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$\lambda \in \R^+$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $λ = 1$ (blau), $λ = 5$ (grün) und $λ = 10$ (rot)
Ergebnismenge:	$\N_0$
Zähldichte:	$f(k) = \frac{\lambda^k}{k!}\cdot \mathrm{e}^{-\lambda}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} \frac{\lambda^i}{i!}\; \mathrm{e}^{-\lambda}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \sum_{i=0}^{\lceil k-1 \rceil} \frac{\lambda^i}{i!}\; \mathrm{e}^{-\lambda}$
Erwartungswert:	$λ$
Varianz:	$λ$

Logarithmische Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$p \in (0,1)$	Bild der Wahrscheinlichkeitsfunktion: $p = 0.2$ (blau), $p = 0.5$ (grün) und $p = 0.8$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\N^+$
Zähldichte:	$f(k) = \frac{p^k}{k}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X \le k\}) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} \frac{p^{i}}{i}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}$
Verteilungsfunktion:	$P(\{X < k\}) = \sum_{i=0}^{\lceil k-1 \rceil} \frac{p^{i}}{i}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)}$
Erwartungswert:	$\frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)}$
Varianz:	$\frac{p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}$

Stetige Verteilungen

Die unten stehenden Tabellen fassen die Kenngrößen Träger, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz der folgenden stetigen Verteilungen zusammen:

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)
Normalverteilung (Gauß-Verteilung)
Logarithmische Normalverteilung
Exponentialverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung (Chi²-Verteilung)
Studentsche t-Verteilung
F-Verteilung (Fisher-Verteilung)
Gammaverteilung
Betaverteilung
Logistische Verteilung
Weibull-Verteilung
Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)
Pareto-Verteilung

Dabei bezeichnen $Γ(r)$ die Gammafunktion, $B (p, q)$ die Betafunktion und $X$ jeweils eine entsprechend verteilte Zufallsvariable mit Dichte $f (x)$ und Verteilungsfunktion $F (x)$ .

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung, Uniformverteilung)

Wertebereich der Parameter:	$a,b \in \R$ mit $a < b$	Bild der Dichtefunktion: $a = 4, b = 8$ (blau), $a = 1, b = 18$ (grün) und $a = 1, b = 11$ (rot)
Ergebnismenge:	$Ω = ] a, b]$
Dichtefunktion:	$f(x) = \begin{cases} \frac {1}{b-a} & \mbox{für } a < x \le b \\ 0 & \mbox{ sonst } \end{cases}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox {für } x \le a \\ \frac {x-a}{b-a} & \mbox{für } a < x \le b \\ 1 & \mbox{für } x > b \end{cases}$
Erwartungswert:	$\frac{a+b}{2}$
Varianz:	$\frac{(b-a)^2}{12}$

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	$\mu \in \R$ und $\sigma \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $μ = 0,σ = 1$ (blau), $μ = 0,σ = 2$ (grün) und $μ = - 1,σ = 2$ (rot)
Ergebnismenge:	$\R$
Dichtefunktion:	$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t$
Erwartungswert:	$μ$
Varianz:	$σ 2$

Logarithmische Normalverteilung (Log-Normalverteilung)

Wertebereich der Parameter:	$\mu \in \R$ und $\sigma \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $μ = 0,σ = 1$ (blau), $μ = 0,σ = 2$ (grün) und $μ = - 1,σ = 2$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R^+$
Dichtefunktion:	$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\frac{1}{x}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{ln}\,x-\mu}{\sigma}\right)^2}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox {für } x \le 0 \\ \frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{x} \,\frac{1}{t}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\operatorname{ln}\,t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t & \mbox {für } x > 0 \end{cases}$
Erwartungswert:	$exp(μ + σ 2 / 2)$
Varianz:	$\exp(2\mu+\sigma^2)\cdot(\exp(\sigma^2)-1)$

Exponentialverteilung

Wertebereich der Parameter:	$\alpha \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $α = 1$ (blau), $α = 5$ (grün) und $α = 10$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R^+$
Dichtefunktion:	$f(x) = \alpha \cdot \mathrm{e}^{-\alpha x}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox {für } x \le 0 \\ 1-\mathrm{e}^{-\alpha x} & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
Erwartungswert:	$\frac{1}{\alpha}$
Varianz:	$\frac{1}{\alpha^2}$

Chi-Quadrat-Verteilung (Chi²-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	$n \in \N^+$	Bild der Dichtefunktion: $n = 2$ (blau), $n = 5$ (grün) und $n = 10$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R^+$
Dichtefunktion:	$f(x) =\frac{x^{\frac{n}{2}-1}\mathrm{e}^{ -\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\tfrac{n}{2})}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases}\displaystyle 0 & \mbox {für } x\leq 0 \\ 1 - \frac{\Gamma \left(\frac{n}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} & \mbox {für } x>0 \end{cases}$
Erwartungswert:	$n$
Varianz:	$2 n$

Studentsche t-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$k \in \N^+$	Bild der Dichtefunktion: $k = 2$ (blau), $k = 5$ (grün) und $k = 10$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R$
Dichtefunktion:	$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\int_{-\infty}^{x} \,\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})} \mathrm{d}t$
Erwartungswert:	$0$
Varianz:	$\frac{k}{k-2}$

F-Verteilung (Fisher-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	$m \in \N^+$ und $n \in \N^+$	Bild der Dichtefunktion: $m = 2, n = 10$ (blau), $m = 10, n = 10$ (grün) und $m = 10, n = 2$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R^+$
Dichtefunktion:	$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}x^{(\frac{m}{2}-1)}\left(1+\frac{m}{n}x\right)^{(-\frac{m+n}{2})}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases} 0\\ \quad \mbox {für } x \le 0 \\ \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{x} \,t^{(\frac{m}{2}-1)}\left(1+\frac{m}{n}t\right)^{(-\frac{m+n}{2})} \mathrm{d}t \\ \quad \mbox {für } x > 0 \end{cases}$
Erwartungswert:	$\frac{n}{n-2}$ (nur definiert für $n > 2$ )
Varianz:	$\frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}$ (nur definiert für $n > 4$ )

Gammaverteilung

Wertebereich der Parameter:	$p \in \R^+$ und $b \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $p = 0.5, b = 2$ (blau), $p = 1, b = 1$ (grün) und $p = 2, b = 1$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R^+$
Dichtefunktion:	$f(x) = {b^p\over\Gamma(p)}x^{p-1}\mathrm{e}^{-bx}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox {für } x \le 0 \\ {b^p\over\Gamma(p)}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{p-1}\mathrm{e}^{-bt} \mathrm{d}t & \mbox {für } x > 0 \end{cases}$
Erwartungswert:	$\frac{p}{b}$
Varianz:	$\frac{p}{b^2}$

Betaverteilung

Wertebereich der Parameter:	$p \in \R^+$ und $q \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $p = 0.5, b = 2$ (blau), $p = 2, b = 2$ (grün) und $p = 2, b = 5$ (rot)
Ergebnismenge:	$Ω = [0,1]$
Dichtefunktion:	$f(x) = {{1}\over {B(p,q)}} x^{p-1}(1-x)^{q-1}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \begin{cases} 0 & \mbox {für } x < 0 \\ {{1}\over {B(p,q)}} \int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u & \mbox {für } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \mbox {für } x > 1 \end{cases}$
Erwartungswert:	${p \over p+q}$
Varianz:	${pq \over (p+q+1)(p+q)^{2}}$

Logistische Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$\alpha \in \R$ und $\beta \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $α = 0,β = 1$ (blau), $α = 0,β = 2$ (grün) und $α = - 1,β = 1$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R$
Dichtefunktion:	$f(x) = \frac{\mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}{\beta \left( 1 + \mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}} \right)^2}$
Verteilungsfunktion:	$F(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}}$
Erwartungswert:	$α$
Varianz:	$\frac{\beta^2 \pi^2}{3}$

Weibull-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$\alpha \in \R^+$ und $\beta \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $α = 1,β = 1$ (blau), $α = 1,β = 2$ (grün) und $α = 5,β = 3$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R^+$
Dichtefunktion:	$f(x)= \alpha \beta x^{\beta - 1} \mathrm{e}^{- \alpha x^ \beta}$
Verteilungsfunktion:	$F(x)=\begin{cases} 1-\mathrm{e}^{- \alpha x^ \beta} & \mbox{für }x > 0\\ 0 & \mbox{für }x \le 0 \end{cases}$
Erwartungswert:	$\alpha^{-1/ \beta} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{\beta}+1\right)$
Varianz:	$\alpha^{-2/ \beta} \cdot \left(\Gamma\left(\frac{2}{\beta}+1\right)- \Gamma \left(\frac{1}{\beta}+1\right)^2\right)$

Cauchy-Verteilung (Cauchy-Lorentz-Verteilung, Lorentz-Verteilung)

Wertebereich der Parameter:	$s \in \R^+$ und $t \in \R$	Bild der Dichtefunktion: $s = 1, t = 0$ (blau), $s = 2, t = 0$ (grün) und $s = 2, t = - 1$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=\R$
Dichtefunktion:	$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}$
Verteilungsfunktion:	$F(x)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right)$
Erwartungswert:	nicht definiert
Varianz:	nicht definiert

Pareto-Verteilung

Wertebereich der Parameter:	$x_\min\in\R$ und $k \in \R^+$	Bild der Dichtefunktion: $x min = 1, k = 1$ (blau), $x min = 1, k = 2$ (grün) und $x min = 2, t = 1$ (rot)
Ergebnismenge:	$\Omega=[x_\min,\infty)$
Dichtefunktion:	$f(x)=\frac{k}{x_{\min}}\left(\frac{x_{\min}}{x}\right)^{k+1}$
Verteilungsfunktion:	$F(x)=1-\left(\frac{x_{\min}}{x}\right)^{k}$
Erwartungswert:	$\begin{cases}\displaystyle x_{\min} \frac{k}{k-1} & \mbox {für }k > 1\\ \infty & \mbox {für }k \leq 1 \end{cases}$
Varianz:	$\begin{cases}\displaystyle x_{\min}^2 \frac{k}{(k-2)(k-1)^2} & \mbox {für }k > 2 \\ \infty & \mbox {für }k \leq 2 \end{cases}$

Siehe auch

Liste von Beziehungen zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Weblinks

Interaktive Verteilungsveranschaulichungen

Diskrete univariate Verteilungen

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