Projektivität

Als Projektivität wird in der Geometrie und der linearen Algebra eine strukturerhaltende, bijektive Abbildung eines projektiven Raumes auf sich selbst, also ein Automorphismus eines projektiven Raumes bezeichnet. Kennzeichnend für eine Projektivität ist, dass sie geradentreu und doppelverhältnistreu ist.

In der linearen Algebra werden speziell n-dimensionale projektive Räume KPⁿ über Körpern K untersucht. Hier lassen sich Projektivitäten (bezüglich eines fest gewählten projektiven Koordinatensystems) durch eine Abbildungsmatrix darstellen. Diese Darstellung wird in der linearen Algebra manchmal auch zur Definition des Begriffs "Projektivität" verwendet. Die Menge dieser Projektivitäten bildet bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe, die projektive lineare Gruppe $\operatorname{PGL}(n+1,K)$ eine Faktorgruppe der allgemeinen linearen Gruppe. Diese Gruppen werden im Hauptartikel "Allgemeine lineare Gruppe" beschrieben.

In der synthetischen Geometrie werden an den projektiven Raum schwächere Voraussetzungen gestellt, so dass auch projektive Räume betrachtet werden, die nicht zu einem Vektorraum gehören (vgl. zu diesen Begriffsbildungen den Hauptartikel "Projektive Geometrie"). Dabei werden besonders projektive Ebenen untersucht. Da hier nicht von vornherein feststeht, was unter einem Doppelverhältnis zu verstehen ist, oder ein solches nicht sinnvoll gebildet werden kann, werden anstelle der Projektivitäten Kollineationen untersucht, von denen nur Geradentreue gefordert wird. In allen Fällen, in denen sinnvoll von Projektivitäten gesprochen werden kann, bilden diese eine Untergruppe der Gruppe der Kollineationen.

Definitionen

Allgemein

Sei $\mathcal{P}$ ein projektiver Raum. Eine bijektive Abbildung $\pi: \mathcal{P}\rightarrow \mathcal{P}$ heißt Projektivität, wenn gilt

1. Je drei verschiedene Punkte, die auf einer Geraden liegen, werden stets auf drei verschiedene Punkte abgebildet, die wieder auf einer Geraden liegen.
2. Für 4 verschiedene Punkte auf jeder Geraden ist ihr Doppelverhältnis stets gleich dem Doppelverhältnis ihrer Bildpunkte.

Kurz: π ist eine doppelverhältnistreue Kollineation.

Lineare Algebra

Hier ist der projektive Raum $\mathcal{P}=KP^n$ (eventuell bis auf Isomorphie), ihm kann daher ein Vektorraum K^{n + 1} als Koordinatenraum zugeordnet werden. Die allgemeine Definition gilt nach wie vor, kann jedoch durch handlichere Beschreibungen ersetzt werden, eine bijektive Abbildung $\pi: \mathcal{P}\rightarrow \mathcal{P}$ heißt Projektivität, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft: Die Abbildung π

• ist eine Projektive Abbildung,
• hat bezüglich eines projektiven Koordinatensystems eine Darstellung, bei der die Koordinatenvektoren der Punkte (in K^{n + 1}) linear auf die Bildpunktkoordinatenvektoren abgebildet werden.

In der ersten Bedingung ist die projektive Abbildung natürlich eine bijektive Selbstabbildung, in der zweiten Bedingung ist die geforderte lineare Selbstabbildung des Koordinatenvektorraums - ebenfalls durch die von π geforderte Bijektivität - sogar ein Vektorraumautomorphismus. Dieser ist allerdings nur bis auf eine "Streckung" $\vec{x}\rightarrow r\cdot \vec{x};\;r\in K^*$ bestimmt.

Literatur

• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
• Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1