Tensorprodukt für von-Neumann-Algebren

Tensorprodukt für von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion

Es seien \mathcal{A}\subset L(H) und \mathcal{B}\subset L(K) zwei von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen H und K. Zwei Operatoren A\in \mathcal{A} und B\in \mathcal{B} definieren einen stetigen linearen Operator A\otimes B auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt H\otimes K, und es gilt sogar \|A\otimes B\| = \|A\|\cdot \|B\| (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form A\otimes B mit A\in \mathcal{A} und B\in \mathcal{B} in L(H\otimes K) erzeugte von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus \mathcal{A} und \mathcal{B} und wird mit \mathcal{A}\overline{\otimes} \mathcal{B} bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.[1][2]

Der Kommutantensatz

Sind \mathcal{A}\subset L(H) und \mathcal{B}\subset L(K) zwei von-Neumann-Algebren, A\in \mathcal{A} und B\in \mathcal{B} sowie A' und B' aus den Kommutanten \mathcal{A}^'\subset L(H) bzw. \mathcal{B}^'\subset L(K), so ist klar, dass A\otimes B und A^'\otimes B^' in L(H\otimes K) vertauschen, denn (A\otimes B)(A^'\otimes B^') = AA^'\otimes BB^' = A^'A\otimes B^'B = (A^'\otimes B^')(A\otimes B). Daraus ergibt sich sofort \mathcal{A}^' \overline{\otimes} \mathcal{B}^' \subset (\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B})^' . Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt[3]:

  • Sind \mathcal{A}\subset L(H) und \mathcal{B}\subset L(K) zwei von-Neumann-Algebren, so gilt \mathcal{A}^' \overline{\otimes} \mathcal{B}^' = (\mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B})^' .

Eine einfache Konsequenz ist L(H)\overline{\otimes}L(K) = L(H\otimes K), was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.[4]

Typ des Tensorprodukts

Haben die von-Neumann-Algebren \mathcal{A} und \mathcal{B} einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden[5]:

\overline{\otimes} I_n,\, n endlich I_n,\, n unendlich \quad\,II_1\quad \quad II_\infty\quad \quad III\quad
I_m,\, m endlich I_{mn}\, I_{mn}\, II_1\, II_\infty III\,
I_m,\, m unendlich I_{mn}\, I_{mn}\, II_\infty II_\infty III\,
II1 \quad\,II_1\quad II_\infty II_1\, II_\infty III\,
II_\infty \quad II_\infty\quad II_\infty II_\infty II_\infty III\,
III\, III\, III\, III\, III\, III\,

Im Allgemeinen hat eine von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von von-Neumann-Algebren der Typen I_n, II_1, II_\infty bzw. III\,. Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes \mathcal{A} \overline{\otimes} \mathcal{B} herangezogen werden.

Siehe auch

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

Einzelnachweise

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, § 11.2: Tensor products of von Neumann algebras
  2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.2.4: Tensor products of von Neumann algebras
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Tabelle 11.2.16
  4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.6.9: Tensor products of von Neumann algebras
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Tabelle 11.1

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