Exzentrizität (Mathematik)

Die Exzentrizität ist ein Maß für die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform.

Neben allgemeinen Problemen der Geometrie spielen die Werte insbesondere in der Optik und der Astronomie eine besondere Rolle

Siehe auch: Exzentrizität (Astronomie)

Die lineare Exzentrizität e

Im Zähler der numerischen Exzentrizität steht e, die lineare Exzentrizität. Sie ist ein Maß für die optische Brennweite des Kegelschnitts (+ für die Hyperbel, − für die Ellipse):

e = \sqrt{a^2 \pm b^2}

Hierbei bezeichnet a die Länge der großen Halbachse und b die Länge der kleinen Halbachse (vgl. Zeichnung). Im Falle der Parabel ist b = 0 und e = a, im Falle des Kreises ist a = b und e = 0.

Die numerische Exzentrizität ε

Ellipse mit Beschriftung und Brennlinien.
Zu den anderen in der Grafik verwendeten Bezeichnungen siehe Ellipse.

Die numerische Exzentrizität eines Kreises ist 0, die einer Ellipse zwischen 0 und kleiner als 1, die einer Parabel 1 und die einer Hyperbel größer als 1.

Im Fall einer Ellipse steht a für die große und b für die kleine Halbachse, im Fall einer Hyperbel für die entsprechenden imaginären Halbachsen.

Die Formel zur Berechnung der numerischen Exzentrizität ist:

\varepsilon = \frac{e}{a}

Mit a^2 \pm b^2 = e^2 (+ für die Hyperbel, − für die Ellipse) ergibt sich:

\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 \pm b^2}}{a} = \sqrt{1 \pm \left( {b\over a} \right) ^2}

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