Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie

Isometrische Isomorphie beschreibt in der Funktionalanalysis einen Zusammenhang zwischen zwei unterschiedlichen Räumen, die geometrisch identisch sind.

Definition

Zwei normierte Räume (X,\Vert \cdot\Vert_X) und (Y,\Vert \cdot\Vert_Y) sind isometrisch isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus T: X \rightarrow Y existiert, der gleichzeitig eine Isometrie ist, also \Vert T x \Vert_Y = \Vert x \Vert_X erfüllt.

Dies bedeutet, dass man die Räume eineindeutig miteinander identifizieren und Längenmessungen im einen auf den anderen übertragen kann. Der Operator T übernimmt die Identifizierung von Elementen aus X mit Elementen aus Y. Die Isometrie von T sichert die Normerhaltung bei diesem Wechsel. Offenbar ist die Umkehrung T − 1 wieder eine isometrische Isomorphie.

Beispiele

Literatur


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