Kreisteilungspolynom

Kreisteilungspolynom

Unter dem n-ten Kreisteilungspolynom Φn versteht man dasjenige ganzzahlige Polynom größten Grades mit Leitkoeffizient 1, das xn − 1 teilt, jedoch zu allen xd − 1 mit d < n teilerfremd ist. Seine Nullstellen über \mathbb{C} sind genau die primitiven n-ten Einheitswurzeln e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n}, wobei k die zu n teilerfremden Zahlen zwischen 1 und n durchläuft. Die Bezeichnung "Kreisteilungspolynom" stammt vom geometrischen Problem der Kreisteilung, also der Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks. Für welche n dies unter Beschränkung auf die „Euklidischen Werkzeuge“ Zirkel und Lineal gelingt, findet sich im Artikel „Konstruierbare Polygone“.

Eigenschaften

Die Zerlegung des n-ten Kreisteilungspolynoms in Linearfaktoren ergibt

 \Phi_n(x) = \!\!\!\! \prod_{1 \leq k \leq n\atop \operatorname{ggT}(k, n) = 1} 
 \!\!\!\! \left(x - e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n}\right)

Daher ist der Grad von Φn gleich ϕ(n), der Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen unterhalb n. Die hierdurch definierte Funktion ϕ hat als Eulersche Phi-Funktion in der Zahlentheorie eine erhebliche Bedeutung.

Umgekehrt gilt die Produktdarstellung

x^n - 1 =\prod_{1\leq k\leq n} \left(x- e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n} \right)= \prod_{d \mid n} \prod_{1 \leq k \leq n\atop \operatorname{ggT}(k, n) = d} \left(x- e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n} \right) =\prod_{d \mid n} \Phi_{n/d}(x) =  \prod_{d\mid n} \Phi_d(x)

Das n-te Kreisteilungspolynom hat ganzzahlige Koeffizienten, liegt also in \mathbb{Z}[x]. Es ist dort und in \mathbb{Q}[x] ein irreduzibles Polynom, folglich Minimalpolynom jeder primitiven n-ten Einheitswurzel. Somit ist der Restklassenring \mathbb Q[x]/(\Phi_n) sogar ein Körper, und zwar der kleinste, worin der Einheitskreis der komplexen Ebene derart in n gleichlange Teile zerlegt werden kann, dass sämtliche Unterteilungspunkte zu dem Körper gehören. Er wird daher Kreisteilungskörper genannt.

Verallgemeinerung

Der Begriff des Kreisteilungspolynoms kann auf die Einheitswurzeln über einem beliebigen Körper verallgemeinert werden. Auf diese Weise ergeben sich insbesondere alle endlichen Körper als Kreisteilungskörper über ihrem Primkörper.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Auflösbar — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Besondere Zahlen — sind zum einen Zahlen, die im Sinne der Zahlentheorie eine oder mehrere auffällige Eigenschaften besitzen. Außerdem haben viele Zahlen eine besondere Bedeutung in der Mathematik und/oder in Bezug auf die reale Welt. Diese letzteren Zahlen werden… …   Deutsch Wikipedia

  • Euklidisch — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Fehlstand — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • GIMPS — Eine Mersenne Zahl ist eine Zahl der Form 2n − 1. Im Speziellen bezeichnet man mit Mn = 2n − 1 die n te Mersenne Zahl. Die Primzahlen unter den Mersenne Zahlen werden Mersenne Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne Primzahlen Mp sind 3, 7,… …   Deutsch Wikipedia

  • Integrabel — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Kollinear — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Kopunktal — In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen …   Deutsch Wikipedia

  • Lineare Interpolation — In der numerischen Mathematik bezeichnet der Begriff Interpolation eine Klasse von Problemen und Verfahren. Zu gegebenen diskreten Daten (z. B. Messwerten) soll eine kontinuierliche Funktion (die sogenannte Interpolante oder Interpolierende)… …   Deutsch Wikipedia

  • Lucas-Lehmer Test — Eine Mersenne Zahl ist eine Zahl der Form 2n − 1. Im Speziellen bezeichnet man mit Mn = 2n − 1 die n te Mersenne Zahl. Die Primzahlen unter den Mersenne Zahlen werden Mersenne Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne Primzahlen Mp sind 3, 7,… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”