Algebra
Aryabhata I.

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen befasst. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet (zum Beispiel x + 1 = 2), also als das Rechnen mit Buchstaben. Als Begründer der Algebra gilt der Grieche Diophantus, auch Diophant von Alexandrien, der etwa 100 v.Chr., nach anderen Angaben etwa 350 nach Chr. lebte. In seinem 13 Bände umfassenden Werk Arithmetica wird die algebraische Methode, also das Rechnen mit Buchstaben, zuerst verwendet.[1]

Inhaltsverzeichnis

Wortgeschichte

Die erste Darstellung der algebraischen Methode findet sich in der Arithmetica, einem Lehr- und Aufgabenbuch des Diophant von Alexandrien, deren Entstehungszeit auf das 1.Jahrhundert v.Chr., nach anderen Quellen auf das 4.Jahrhundert n.Chr. datiert wird.[2] Eine weitere Darstellung der Algebra ist das Aryabhattiya, ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers Aryabhata aus dem 5. Jahrhundert; die verwendete Methodik wurde Bijaganitam genannt. Ab dem 9. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten dann Gelehrte aus dem arabischsprachigen Raum diese Methode, die sie al-ǧabr (von arab.: „das Ergänzen“/„das Einrichten“) nannten. Der Begriff ist aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala („Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“, entstanden um 825) des Mathematikers und Universalgelehrten al-Chwarizmi entnommen, der im 9. Jahrhundert in Bagdad wirkte. Vier Jahrhunderte nach der Publikation des Buches erschien seine lateinische Übersetzung Ludus algebrae almucgrabalaeque. Aus „al-ǧabr“ entwickelte sich das heutige Wort „Algebra“.

Klassische und moderne Algebra

Die Algebra teilt man bezüglich ihrer Entstehung in die klassische und die moderne Algebra ein. Methoden der Algebra, die bis in 19. Jahrhundert entwickelt wurden, rechnet man der klassischen Algebra zu. In ihr untersuchte man algebraische Gleichungen

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 = 0,

auf Eigenschaften ihrer Lösungen. Wichtige Aussagen im Bereich der klassischen Algebra sind der von Gauß bewiesene Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass eine algebraische Gleichung der Ordnung n in \C genau n Lösungen hat, und der Satz von Abel, der besagt, dass es für eine algebraische Gleichung 5. Grades keine Lösungsformel ähnlich der PQ-Formel gibt.

Im 19. Jahrhundert entwickelte Évariste Galois die nach ihm benannte Galoistheorie. Diese kann als der Beginn der modernen Algebra verstanden werden. Seit dieser Zeit entwickelte sich die Algebra weg von der Theorie der algebraischen Gleichungen hin zur Gruppen- und Ringtheorie.

Am Beispiel des großen fermatschen Satzes sieht man allerdings, dass sich die klassische und die moderne Algebra nicht klar trennen lassen. Die Vermutung, dass die algebraische Gleichung an + bn = cn mit a,b,c \in \mathbb{N} für n > 2 keine ganzzahlige Lösung besitzt, wurde schon im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert. Die in der Vermutung enthaltene Fragestellung nach Lösungen der Gleichung ist eine typische Fragestellung der klassischen Algebra beziehungsweise der in dieser Zeit entstandenen Zahlentheorie. Jedoch konnte die Vermutung erst 1995 mit moderneren Methoden der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie bewiesen werden.

Algebra als Teilgebiet der Mathematik: Begriffsbestimmung und Gliederung

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwierig geworden ist, den Begriff der Algebra in einer knappen Definition anzugeben. Im Folgenden werden einige Teilgebiete der Algebra und einige an die Algebra angrenzende, andere Teilgebiete erwähnt. Diese sind allerdings keineswegs scharf voneinander abgegrenzbar.

Algebra als mathematische Struktur

Als universelle oder allgemeine Algebra, kurz Algebra, wird das Grundkonstrukt einer algebraischen Struktur bezeichnet: Eine (meist nichtleere) Menge, auf der eine oder mehrere (u.U. partielle) Verknüpfungen („Operationen“ genannt) definiert sind und in der gewisse Axiome gelten. Gruppen, Ringe, Körper sind somit Beispiele für spezielle Algebren.

„Algebraisch“ als Attribut von Zahlen, Funktionen, Gleichungen

Algebraisch als mathematisches Attribut hat folgende Bedeutungen:

  • Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, zu deren Formulierung nur endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) erforderlich sind, in der also zum Beispiel keine typischen analytischen Funktionen vorkommen.
  • Die algebraischen Zahlen sind die Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
  • Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl auf Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem beliebigen vorgegebenen Körper.

Einzelnachweise

  1. Vgl. Alten et al: 4000 Jahre Algebra; Berlin-Heidelberg 2003; p.95ff
  2. Vgl. Alten et al: 4000 Jahre Algebra; Berlin-Heidelberg 2003; p.99ff

Literatur

Zur Geschichte

Lehrbücher

Weblinks

Wikiversity Wikiversity: Eine einführende Vorlesung zur Algebra – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch
Wikibooks Wikibooks: Mathematik: Algebra – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary Wiktionary: Algebra – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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