Modul (Mathematik)


Modul (Mathematik)

Ein Modul [ˈmoːdul] (maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln]) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Inhaltsverzeichnis

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

In diesem einfachsten Fall kann man direkt die Axiome eines Vektorraums abschreiben und überall „Körper“ durch „Ring“ ersetzen: Ein Modul über einem kommutativen Ring (R, +, \cdot) mit Einselement ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einer Abbildung

R\times M\to M,\quad(r,m)\mapsto r\cdot m („Multiplikation mit Skalaren“),

so dass gilt:

r_1\cdot(r_2\cdot m) = (r_1\cdot r_2)\cdot m
(r_1+r_2)\cdot m=r_1\cdot m+r_2\cdot m
r\cdot (m_1+m_2)=r\cdot m_1+r\cdot m_2

Fordert man zusätzlich noch 1\cdot m=m, so nennt man den Modul unitär.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche Gruppen

Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer \mathbb{Z}-Modul: Wegen

1\cdot m=m

sind höchstens

k\cdot m=\underbrace{(1+...+1)}_{k\text{-mal}} \cdot m=\underbrace{m+\dots+m}_{k\text{-mal}}

und analog

(-k)\cdot m=-\underbrace{(m+\ldots+m)}_{k\text{-mal}}

(für natürliche Zahlen k) denkbar. Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung. (Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben).

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst

Sei k[X] der Polynomring über einem Körper k. Dann entsprechen die k[X]-Moduln eins-zu-eins den Paaren (V,A) bestehend aus einem k-Vektorraum V und einem Endomorphismus A von V:

  • Sei M ein k[X]-Modul. Wir stellen fest, dass M auch ein k-Vektorraum ist, da k in k[X] eingebettet ist. Sei V dieser Vektorraum. Das zu M gehörige Paar ist nun (V,A), wobei A durch
V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.
gegeben ist.
  • Zu einem Paar (V,A) definieren wir eine k[X]-Modulstruktur durch
X \cdot v := Av
und setzen das k-linear auf k[X] fort, d.h. für alle

p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\ldots+a_nX^n\in k[X] setzen wir

p(X)\cdot v:=p(A) v:=a_0 v + a_1\cdot Av + a_2\cdot A^2v + \ldots + a_n\cdot A^nv.

Ringideale

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von R (da R in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei R ein Ring. Ist R nicht kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer Abbildung

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m = rm,

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle r,r_1,r_2 \in R,\,  m,m_1,m_2 \in M gilt

(r_1+r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m und
r \cdot (m_1+m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2,

und für die

r_1 \cdot (r_2\cdot m)=(r_1 \cdot r_2) \cdot m für alle r_1,r_2\in R,\ m\in M

gilt. Wird R als unitär angenommen, so fordert man meist auch, dass M ein unitärer Modul ist, d. h.

1 \cdot m = m für alle m \in M.

Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,

so dass

(m\cdot r_1)\cdot r_2 = m \cdot(r_1 \cdot r_2) für alle r_1,r_2\in R,\ m\in M.

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring ist unitär, wenn

m \cdot 1 = m für alle m \in M gilt.

Ist R kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von R-Moduln.

Alternative Definitionen

  • Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
R\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.
Dabei ist \mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M der Ring der Endomorphismen von M mit der Verkettung als Produkt:
(f_1\cdot f_2)(m) = f_1(f_2(m)) für f_1,f_2\in\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M, m\in M.
  • Ein R-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
R\to(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}};
Dabei sei (\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^\mathrm{op} der Ring der Endomorphismen von M mit der Rechtsverkettung als Produkt:
(f_1\cdot f_2)(m) = f_2(f_1(m)) für f_1,f_2\in(\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}}, m\in M.

Bimoduln

Es seien R und S Ringe. Dann ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einer R-Linksmodul- und einer S-Rechtsmodulstruktur, so dass

(r \cdot m) \cdot s = r \cdot (m \cdot s) für r\in R,s\in S,m\in M

gilt.

Alternativ ist ein R-S-Bimodul eine abelsche Gruppe M zusammen mit einem Ringhomomorphismus

R\times S^{\mathrm{op}}\to\mathrm{End}_{\mathbb Z}\,M.

Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist R ein kommutativer Ring und A eine assoziative R-Algebra, so ist ein A-Linksmodul ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus

A\otimes_RM\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,

so dass

a1(a2m) = (a1a2)m für a_1,a_2\in A,m\in M

gilt.

Ein A-Rechtsmodul ist ein R-Modul M zusammen mit einem R-Modulhomomorphismus

M\otimes_RA\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,

so dass

(ma1)a2 = m(a1a2) für a_1,a_2\in A,m\in M

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra

Es sei \mathfrak g eine Lie-Algebra über einem Körper k. Ein \mathfrak g-Modul oder eine Darstellung von \mathfrak g ist ein k-Vektorraum M zusammen mit einer k-bilinearen Abbildung

\mathfrak g\times M\to M,\quad (X,m)\mapsto X\cdot m = Xm,

so dass

[X,Y]m = XYmYXm für X,Y\in\mathfrak g,m\in M

gilt.

Alternativ ist ein \mathfrak g-Modul ein k-Vektorraum M zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über k

\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(M);

dabei ist \mathfrak{gl}(M) die k-Algebra der Endomorphismen von M mit dem Kommutator als Lieklammer.

\mathfrak g-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von \mathfrak g.

Moduln über einer Gruppe

Es sei (G,\cdot) eine Gruppe. Ein G-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einer Abbildung

G\times M\to M, (g,m)\mapsto gm:=g\cdot m,

so dass

g(m1 + m2) = gm1 + gm2 für g\in G,m_1,m_2\in M

und

(g1g2)m = g1(g2m) für g_1,g_2\in G,m\in M

gilt.

Ein G-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

m(g1g2) = (mg1)g2 für g_1,g_2\in G,m\in M

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein G-Linksmodul eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G\to\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M;

dabei ist \mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M = (\mathrm{End}_{ \mathbb Z}\,M )^\times die Gruppe der Automorphismen von M mit der Verknüpfung

(f_1\cdot f_2)(m)=f_1(f_2(m)) für f_1,f_2\in\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M,m\in M.

Ein G-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe (M, + ) zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G\to(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}};

das Produkt auf (\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}} ist durch

(f_1\cdot f_2)(m)=f_2(f_1(m)) für f_1,f_2\in(\mathrm{Aut}_{\mathbb Z}\,M)^{\mathrm{op}},m\in M

gegeben.

Ist R weiter ein Ring, so ist ein G-R-Modul eine abelsche Gruppe mit einer R-Modul- und einer G-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

r(gm) = g(rm) für r\in R,g\in G,m\in M.

Alternativ ist ein G-R-Modul ein R-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

G\to\mathrm{Aut}_R\,M;

dabei ist AutR M die Gruppe der Automorphismen von M als R-Modul.

G-R-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring R[G].

Ist k speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des G-k-Moduls mit dem der k-linearen Darstellung von G überein.

Siehe auch

Weblinks

http://www.mathematik-netz.de/pdf/Moduln.pdf Alexander Hölzle: Einführung in die Modultheorie.

Literatur


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