Momenterzeugende Funktion

Momenterzeugende Funktion

Mit der Momenterzeugenden Funktion kann das k-te Moment der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ermittelt werden. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen X definiert durch

M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)=E\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(tX)^n}{n!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}E(X^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}m_X^n,

falls deren Erwartungswerte E(Xn) existieren. Dabei sind m_X^n=E(X^n) die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Inhaltsverzeichnis

Für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

Falls X eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) hat, dann ist die momenterzeugende Funktion durch

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
 = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2}{2!}x^2 + \ldots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + t m_X^1 + \frac{t^2}{2!}m_X^2 +\ldots\,,

gegeben, wobei m_X^i das i-te Moment von X ist. Der Ausdruck M_X\left(-t\right) ist also gerade die zweiseitige Laplacetransformation des durch X festgelegten Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Bemerkungen

Ursprung des Begriffs der momenterzeugenden Funktion

Die Bezeichnung momenterzeugend bezieht sich darauf, dass die k-te Ableitung von MX im Punkt 0 (Null) gleich dem k-ten Moment der Zufallsvariablen X ist:

\frac{\partial^k}{\partial t^k} M_X(t)\biggr\vert_{t=0} = E(X^k) = m_X^k.

Durch die Angabe aller nicht verschwindenden Momente ist jede Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt, falls die momenterzeugende Funktion auf einem offenen Intervall ( − ε,ε) existiert (\varepsilon > 0).

Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion

Die momenterzeugende Funktion steht in engem Zusammenhang mit der charakteristischen Funktion \varphi_X(t) = E\left(e^{\mathrm{i}t X}\right), die im Wesentlichen die Inverse der Fourier-Transformierten des Wahrscheinlichkeitsmaßes darstellt.

Weitere erzeugende Funktionen

Zu den weiteren erzeugenden Funktionen zählt man die charakteristische Funktion, die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion und die kumulantenerzeugende Funktion als Logarithmus der momenterzeugenden Funktion.

Eindeutigkeitseigenschaft

Ist die momenterzeugende Funktion einer Zufallsgröße X in einer Umgebung von 0 endlich, so bestimmt sie die Verteilung von X eindeutig.[1] Formal bedeutet das:

Seien X und Y zwei Zufallsgrößen mit momenterzeugenden Funktionen MX und MY derart, dass es ein \varepsilon > 0 gibt mit M_X (s), M_Y (s) < \infty für alle s \in (-\varepsilon,\varepsilon). Dann gilt PX = PY genau dann, wenn MX(s) = MY(s) für alle s \in (-\varepsilon,\varepsilon) gilt.

Beispiele

Normalverteilung

Die Momenterzeugende Funktion einer normalverteilten Zufallsgröße X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) ist M_X(t)=\exp{\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}.

Exponentialverteilung

Die Momenterzeugende Funktion einer exponentialverteilten Zufallsgröße mit Parameter λ ist M_X(t)= \frac{\lambda}{\lambda-t}

Verallgemeinerung auf mehrdimensionale Zufallsvariablen

Für \ell Zufallsvariablen \overline{\mathbf{X}} = (X_1, \ldots , X_\ell) lässt sich die momenterzeugende Funktion wie folgt erweitern:

M_{\overline{\mathbf{X}}}(t)
=E\left(\sum_{n_1\cdots n_\ell=0}^{\infty}\frac{(t_1 X_1)^{n_1}\cdots(t_\ell X_\ell)^{n_\ell} }{n_1!\cdots n_\ell!}\right)
=       \sum_{n_1\cdots n_\ell=0}^{\infty}\frac{t_1^{n_1}      \cdots t_\ell^{n_\ell} }{n_1!\cdots n_\ell!}m_{\overline{\mathbf{X}}}^n
.

Einzelnachweise

  1. The Annals of Mathematical Statistics: J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions , 16. Oktober 2008

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