Pauli-Matrizen

Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen σ123 (nach Wolfgang Pauli) bilden eine Basis der hermiteschen, spurfreien 2×2-Matrizen und stellen die Wirkung der Drehimpulsoperatoren,  S_i = \tfrac{\hbar}{2}\, \sigma _i\,,\ i\in\{1,2,3\}\,, auf Spin-½-Zuständen, beispielsweise auf Elektronen, dar.

Die Pauli-Matrizen lauten

\sigma _ 1 =  \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0 \end{pmatrix}\,, \quad

\sigma _ 2 =  \begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0 \end{pmatrix}\,, \quad

\sigma _ 3 =  \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1 \end{pmatrix}\,.

Inhaltsverzeichnis

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix Matrix Linearkombination (Standard-Basisvektoren) Linearkombination (Eigenvektoren)
σ1 = σx \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} |0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0| |+\rangle\langle+|-|-\rangle\langle-|
σ2 = σy \begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix} \mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right) |\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-|
σ3 = σz \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1| |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert:

\begin{align}
|0\rangle&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},&
|1\rangle&=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\\[0.5em]
|+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},&
|-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\\[0.5em]
|\phi^+\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix},&
|\phi^-\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}\mathrm i\\1\end{pmatrix}
\end{align}

Eigenschaften

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = \mathbf{1}

wobei \mathbf{1} die Einheitsmatrix ist. Die Einheitsmatrix wird manchmal auch als \mathbf{\sigma_0} bezeichnet.

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind:

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \hbox{für}\ i = 1, 2, 3.
\end{matrix}

Aus obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix \mathbf{\sigma_i} die Eigenwerte +1 und -1 besitzt.

Des Weiteren:

\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = i\mathbf{1}

Die Pauli-Matrizen erfüllen die Algebra

\sigma_i \, \sigma_j  = \delta_{ij}\mathbf{1} + \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,

(Schreibweise in einsteinscher Summenkonvention, \epsilon_{ijk} ist das Levi-Civita-Symbol),
also insbesondere bis auf einen Faktor 2 die Drehimpulsalgebra

[\sigma_i\, ,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k\,

und die Clifford- oder Dirac-Algebra Cl(0,3,\mathbb R)

\{\sigma_i\, ,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i  = 2\, \delta_{ij}\mathbf{1}\,.

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall l = 1 / 2 von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren Λm eines Drehimpuls-l-Multipletts mit Quantenzahlen m in Maßsystemen mit \hbar=1 folgendermaßen wirken

L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,
L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,
L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.

Dabei ist 2l + 1 eine natürliche Zahl und für m treten die 2l + 1 verschiedenen Quantenzahlen m=-l,-l+1,\dots ,l auf. Für l = 1 / 2 wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren Λ1 / 2 und Λ − 1 / 2 demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,,\ 
L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,,\ L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.

Mit L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-) und L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-) ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe

Die drei Pauli-Matrizen σi bilden zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra, und aufgrund der Identität[1]

\exp\Bigl(-\mathrm i\,\frac{\alpha}{2}\boldsymbol{\sigma}\cdot  \mathbf{n}\Bigr) 
= \mathbf{1}\,\cos\frac{\alpha}{2}- (\boldsymbol{\sigma}\cdot \mathbf{n})\, \mathrm{i}\, \sin\frac{\alpha}{2}

sind die Pauli-Matrizen auch die Generatoren der komplexen Drehgruppe SU(2). \mathbf n ist dabei die Drehachse als Einheitsvektor im \mathbb R^3 und α der Drehwinkel, der von 0 bis   4\pi\, läuft. Für α = 2π ergibt sich \exp\bigl(-\mathrm i\,\pi\mathbf \sigma\,\cdot  \mathbf n\bigr) = -\mathbf 1. D.h. ein Spin-1/2-Zustand wird erst durch eine Drehung um den Winkel reproduziert.

Eigenvektoren

Die Matrix σ3 hat die Eigenvektoren

 \chi_{31} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad 
       \chi_{32} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)

wie man leicht erkennen kann:

 \sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) 
                          = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right), \quad
       \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) 
                          = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \end{array}\right)
                          = -1 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)

entsprechend den Eigenwerten \pm 1. Die Eigenvektoren von σ1 sind

 \chi_{11} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad 
       \chi_{12} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right):
 \sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) 
                          = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad
       \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) 
                         = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)
                         = -1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)

und die Eigenvektoren von σ2

 \chi_{21} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mathrm i \end{array}\right), \quad 
       \chi_{22} = \left(\begin{array}{c} \mathrm i \\ 1 \end{array}\right):
 \sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mathrm i \end{array}\right) 
                          = \left(\begin{array}{c} 1 \\ \mathrm i \end{array}\right), \quad
       \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} \mathrm i \\ 1 \end{array}\right) 
                         = \left(\begin{array}{c} - \mathrm i \\ -1 \end{array}\right)
                         = -1 \left(\begin{array}{c} \mathrm i \\ 1 \end{array}\right)

Hier zeigt sich, dass die Eigenzustände der Spinoperatoren S1 und S2 Superpositionen der Eigenzustände von S3 sind.

Siehe auch

Weblinks

Literatur

  1. Charles Misner, Kip S. Thorne, John. A. Wheeler: Gravitation. S. 1142, W. H. Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0

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