Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung ermöglicht in der Mathematik die Berechnung einer nicht direkt mit elementaren Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) darstellbaren mathematischen Funktion durch eine endliche oder unendliche Summe von elementaren Ausdrücken. Diese so genannte Reihe kann in der Praxis oft auf endliche viele Glieder reduziert werden, wodurch eine Näherung der exakten Funktion entsteht, die umso einfacher ist, je weniger Glieder genommen wurden, aber umso besser ist, je mehr genommen wurden. Häufig lässt sich die dadurch entstandene Ungenauigkeit (also die Größe des Restgliedes) formelhaft beschreiben. Bei einer erzeugenden Funktion erscheinen die Glieder einer unendliche Folge (z. B. die der bernoullischen Zahlen) als Koeffizienten der Reihenentwicklung.

In der Mathematik tauchen zum Beispiel folgende Reihenentwicklungen auf:

• Taylorreihe (Potenzreihe) und Maclaurin-Reihe als Spezialfall davon
• Laurentreihe, Erweiterung der Taylorreihe, bei der auch negative Werte der Exponenten erlaubt sind.
• Dirichletreihe
• Fakultätenreihe
• Fourierreihe, beschreibt eine periodische Funktion als Überlagerung von Sinus- und Kosinus-Funktionen. So können z.B. Musiktöne als Überlagerung von einem Grundton und mehreren Obertönen beschrieben werden.
• Legendre-Polynom, beschreibt in der Physik ein beliebiges Feld als eine Überlagerung von Dipol-, Quadrupol-, Oktupol-Feldern usw.
• Zernike-Polynome, werden in der Optik verwendet, um Abbildungsfehler optischer Systeme zu errechnen.

Andere Entwicklungen solcher Funktionen sind die Kettenbruchentwicklungen.