Spin-Bahn-Kopplung

Als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet man die Wechselwirkung des Bahndrehimpulses eines Elektrons in einem Atom mit dem Spin des Elektrons.

Sie trägt, neben relativistischen Effekten und dem Darwin-Term, zur Feinstruktur der Atomspektren bei und sorgt für die Aufspaltung der Spektrallinien. Die bekannteste Aufspaltung ist die der D-Linie von Natrium, die sich bereits mit einem guten Prisma beobachten lässt.

Ursache

Die Spin-Bahn-Kopplung lässt sich anschaulich in einem semiklassischen Modell begründen. Sie ergibt sich aus der Dirac-Gleichung.

Aus der Maxwelltheorie und der speziellen Relativitätstheorie folgt, dass auf ein Elektron, wenn es im elektrischen Feld eines Atomkerns kreist, ein magnetisches Feld in seinem Ruhesystem wirkt. Im Ruhesystem des Elektrons wird nämlich eine Bewegung des Kerns wahrgenommen. Diese Bewegung stellt aufgrund der Ladung des Kerns einen Kreisstrom dar, welcher nach dem Gesetz von Biot-Savart zu einem Magnetfeld führt.

Laut der Theorie des Elektronenspins besitzt aber auch das Elektron selbst ein magnetisches Moment. Dieses magnetische Moment koppelt an das magnetische Feld des Kerns, so dass für eine Spinrichtung die Energie erhöht und für die andere Spinrichtung die Energie verringert wird. Da hierdurch ein einzelnes Niveau wegen der zwei möglichen Spinrichtungen in zwei Niveaus aufgespalten wird, gibt es zwei gegenüber der ursprünglichen Lage leicht verschobene Linien in den Spektren der Elemente, bei denen bei grober Betrachtung nur eine sichtbar ist.

LS-Kopplung

Bei der LS-Kopplung ist die elektrostatische Wechselwirkung aller Elektronen groß im Vergleich zur Spin-Bahn-Wechselwirkung einzelner Elektronen. Die Spin-Bahn-Kopplung jedes Elektrons wird aufgebrochen. Stattdessen koppeln die einzelnen Bahndrehimpulse $\vec l_i$ und Spindrehimpulse $\vec s_i$:

$\vec L=\sum_i \vec l_i$ und $\vec S=\sum_i \vec s_i$

$\vec L$ und $\vec S$ koppeln zum Gesamtdrehimpuls $\vec J$:

$\vec J=\vec L+\vec S$

Diese Form der Spin-Bahn-Kopplung dominiert bei Atomen mit kleinen Kernladungszahlen bis etwa Kohlenstoff. Bei sehr schweren Atomen wie zum Beispiel Uran liegt dagegen eine jj-Kopplung vor. Bei den dazwischen liegenden Atomen liegen Mischformen vor.

Gelegentlich wird die LS-Kopplung nach den Physikern Henry Norris Russell und Frederick Albert Saunders mit Russell-Saunders-Kopplung bezeichnet.

Spin-Bahn-Kopplungsenergie

Aus der Spin-Bahn-Kopplung ergibt sich unter Annahme des Bohrschen Atommodells folgende Energieverschiebung für die einzelnen Energieniveaus:

$\Delta E = {a\over 2}(j(j+1) - l(l+1) -s(s+1))$

a ist die Spin-Bahn-Kopplungskonstante. Sie wird definiert ^[1] durch

$a := \frac{Z e^2 \mu_0 \hbar^2}{8 \pi m_0^2 r^3}$

und damit abhängig vom Bahnradius r des Elektrons. Hierbei ist die relativistische Thomas-Korrektur mit einem Faktor 1/2 berücksichtigt. m₀ bezeichnet die Elektronenmasse, Z die Ladungszahl der bewegten Ladung, e die Elektronenladung, µ₀ die magnetische Feldkonstante und $\hbar$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum.

jj-Kopplung

Die jj-Kopplung ist die Form der Spin-Bahn-Kopplung, die bei schweren Atomen mit großen Ladungszahlen Z (z. B. bei Blei) vorherrscht.

Bei der jj-Kopplung ist die elektrostatische Wechselwirkung aller Elektronen klein im Vergleich zur Summe aller Spin-Bahn-Wechselwirkungen einzelner Elektronen. Der Gesamtbahndrehimpuls $\vec L$ und Gesamtspin $\vec S$ sind nicht mehr definiert, man sagt „die LS-Kopplung bricht auf“. Für jedes einzelne Elektron i koppeln hier schon $\vec l_i$ und $\vec s_i$ zu $\vec j_i$.

$\vec j_i=\vec l_i+\vec s_i$

Die $\vec j_i$ koppeln zum Gesamtdrehimpuls $\vec J$:

$\vec J=\sum_i \vec j_i$

Einzelnachweise

1. ↑ H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004

Weblinks

• Uni Stuttgart Spin-Bahn-Kopplung am Wasserstoffatom