Hölder-Stetigkeit


Hölder-Stetigkeit

Die Hölder-Stetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei  U \subset \mathbb{R} offen und  0 < \alpha \le 1. Eine Abbildung f:U\rightarrow \R heißt hölderstetig zum Exponenten α genau dann, wenn eine positive reelle Zahl C existiert, so dass für alle x,y\in U gilt:

\mid f(x)-f(y)\mid\leq C\mid x-y \mid^\alpha.

Eine Verallgemeinerung auf metrische Räume ist in natürlicher Weise gegeben.

Eigenschaften hölderstetiger Funktionen

  • Für α = 1 ergibt sich die Lipschitz-Stetigkeit.
  • Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes ε > 0 etwa δ: = (ε / C)1 / α. Dann folgt aus |x-y|\le\delta wie gewünscht |f(x)-f(y)|\le\varepsilon.
  • Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: Sei a\in(0,1) eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall [0,a] gemäß
    
f(x):=\left\{\begin{array}{cl}-1/\ln x&\mbox{für }0<x\le a\\0&\mbox{bei }x=0\end{array}\right.
    definierte Funktion f ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten C > 0 und \alpha\in(0,1] mit f(x)\le Cx^\alpha für alle x\in(0,a], also insbesondere
    
C\ge\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{-x^{-\alpha}}{\ln x}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha}
    laut Regel von L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Siehe auch

Literatur

  • H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2002

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