Linearform

Die Linearform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V über dem Körper K in ebendiesen Körper K. Eine Linearform ist also ein lineares Funktional:

$f: V \to K$

Eine Linearform $f: V \to K$ genügt den beiden folgenden Bedingungen, die ganz allgemein eine lineare Abbildung kennzeichnen: für alle x,y aus V und alle α aus K gilt:

1. f(x + y) = f(x) + f(y) (Additivität);
2. f(αx) = αf(x) (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum V bildet dessen Dualraum V ^* .

Verwandte Begriffe

Wenn man Bedingung 2 in f(αx) = α ^* f(x) ändert, wobei α ^* das komplex Konjugierte von α bezeichnet, erhält man eine Semilinearform.

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine Sesquilinearform, eine Bilinearform, oder allgemein eine Multilinearform.

Linearform als Tensor

Eine Linearform f ist ein kovarianter Tensor erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch 1-Form. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von Differentialformen.

Literatur

• Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Linear form. In: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.