Quotientenabbildung

Quotientenabbildung

Quotientenabbildung ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Quotientenabbildungen sind lineare Abbildungen, die eine bestimmte Faktorraumstruktur erzeugen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Seien X,Y normierte Räume. Eine lineare Abbildung T : X \rightarrow Y heißt Quotientenabbildung, wenn sie die offene Einheitskugel \{x \in X : \|x\| <1 \} auf die offene Einheitskugel \{y \in Y : \|y\| <1 \} abbildet.

Quotientennorm

Es sei T : X \to Y eine Quotientenabbildung. Dann ist T stetig, surjektiv und es gilt \|T \| = 1 (falls Y \neq 0). Ferner ist X / ker(T) isometrisch isomorph zu Y.

Ist umgekehrt U\subset X ein abgeschlossener Unterraum und definiert man auf X / U die Quotientennorm durch \|x+U\| := \inf\{\|x+y\|;\,y\in U\} = \mathrm{dist}(x,U), so ist X\rightarrow X/U, x\mapsto x+U eine Quotientenabbildung. Die durch die Quotientennorm definierte Topologie stimmt mit der Finaltopologie der Abbildung X\rightarrow X/U überein. Dieser Zusammenhang rechtfertigt den Namen Quotientenabbildung in obiger Definition.

Eigenschaften

Viele Eigenschaften vererben sich auf die Quotientennorm:

  • Ist X ein Banachraum und U\subset X ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch X / U ein Banachraum, d.h. die Vollständigkeit vererbt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist X ein Hilbertraum und U\subset X ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch X / U ein Hilbertraum, d.h. auch die Quotientennorm wird durch ein Skalarprodukt erzeugt.
  • Ist X ein gleichmäßig konvexer Raum und U\subset X ein abgeschlossener Unterraum, so ist auch X / U gleichmäßig konvex.
  • Ist X eine Banachalgebra und U\subset X ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch X / U eine Banachalgebra, d.h. die Submultiplikativität der Norm überträgt sich auf die Quotientennorm.
  • Ist X eine C*-Algebra und U\subset X ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist auch X / U eine C*-Algebra, d.h. die C*-Eigenschaft der Norm gilt auch für die Quotientennorm.

Lokalkonvexe Räume

Die Topologie eines lokalkonvexen Raumes X wird durch eine Menge \mathcal P von Halbnormen erzeugt. Sei U\subset X ein Unterraum. Für jedes p\in \mathcal P ist die Quotientenhalbnorm \hat{p} eine Halbnorm auf dem Quotientenraum X / U, wobei \hat{p}(x+U) := \inf\{p(x+y);\,y\in U\}. Dann stimmt die Finaltopologie auf X / U mit der durch die Halbnormen \{\hat{p};p\in {\mathcal P}\} erzeugten Topologie überein, insbesondere ist der Quotientenraum wieder lokalkonvex.

Siehe auch

Quelle

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 54

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