Bewertungstheorie

Im mathematischen Teilgebiet der Bewertungstheorie geht es um Verallgemeinerungen der Frage, durch welche Potenz einer festen Primzahl eine natürliche Zahl teilbar ist.

Inhaltsverzeichnis

p-Bewertung

Es sei p eine Primzahl.

Die p-Bewertung (auch: die p-adische Bewertung oder der p-Exponent) vp(n) einer natürlichen oder ganzen Zahl n ist die größte Zahl k, so dass n noch durch pk teilbar ist. Die p-Bewertung gibt an, wie oft eine Primzahl p in der Primfaktorzerlegung einer natürlichen oder ganzen Zahl vorkommt.

Die p-Bewertung einer natürlichen Zahl n ist der Exponent der Primzahl p in der Primfaktorzerlegung von n. Ist

n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k},

so ist

v_{p_1}(n) = a_1,\quad v_{p_2}(n) = a_2,\quad\ldots,\quad v_{p_k}(n) = a_k.

Tritt eine Primzahl p nicht in der Primfaktorzerlegung von n auf, dann ist vp(n) = 0.

Man setzt v_p(0) = \infty, weil jede Potenz jeder Primzahl die 0 teilt.

Die p-Bewertung einer ganzen Zahl ist die ihres Betrags.

Die p-Bewertung einer rationalen Zahl ist die Differenz der p-Bewertungen des Zählers und des Nenners: Für eine rationale Zahl r = \frac{m}{n} mit m,n\in\mathbb Z ist also

vp(r) = vp(m) − vp(n).

Geht p nur im Nenner des (vollständig gekürzten) Bruchs m / n auf, ist vp(r) also eine negative Zahl.

Die p-Bewertung rationaler Zahlen spielt eine wichtige Rolle bei einer Konstruktionsart der p-adischen Zahlen: die Funktion

r\mapsto p^{-v_p(r)}

bildet auf den rationalen Zahlen einen nichtarchimedischen Betrag.

p-ganze und S-ganze Zahlen

Eine p-ganze Zahl (auch "p-adisch ganze Zahl" oder "für p ganze Zahl") ist eine rationale Zahl, die nichtnegative p-Bewertung hat, d.h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nicht durch p teilbar ist. Rationale Zahlen, die nicht p-ganz sind, werden manchmal auch "p-gebrochen" genannt.

Die Menge aller p-ganzen Zahlen ist ein Unterring von \mathbb Q, der \mathbb Z_{(p)} geschrieben wird. \mathbb Z_{(p)} ist ein diskreter Bewertungsring, insbesondere gibt es bis auf Assoziierte genau ein irreduzibles Element, nämlich p.

Ist allgemeiner S eine Menge von Primzahlen, so ist eine S-ganze Zahl eine rationale Zahl, die p-ganz für jedes p\notin S ist (!), d.h. bei der in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur durch Primzahlen aus S teilbar ist. Die Menge der S-ganzen Zahlen bildet einen Unterring \mathbb Z_S von \mathbb Q. Beispielsweise ist für S=\varnothing also \mathbb Z_S=\mathbb Z, für S=\complement\{p\} ist \mathbb Z_S=\mathbb Z_{(p)}.

Diskrete Bewertungen

Es sei K ein Körper. Dann heißt eine surjektive Funktion

v\colon K\to\mathbb Z\cup\{\infty\}

eine diskrete Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  • v(ab) = v(a) + v(b)
  • v(a)=\infty\iff a=0
  • v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}

für alle a,b\in K. K zusammen mit v heißt diskret bewerteter Körper.

Beispiele

  • die p-Bewertung auf den rationalen Zahlen für eine Primzahl p
  • die Nullstellen- bzw. Polordnung meromorpher Funktionen in einem festen Punkt

Diskrete Bewertungen und diskrete Bewertungsringe

Die Teilmenge

A := \{x\in K\mid v(x)\geq0\}

bildet einen Unterring von K, den Bewertungsring von v. Er ist ein diskreter Bewertungsring mit einem maximalen Ideal \mathfrak m := \{x \mid x \in K, v(x) > 0\}, welches Hauptideal ist.

Ist umgekehrt (A,\mathfrak m) ein diskreter Bewertungsring, so ist durch

v(x)=\sup\{k\in\mathbb Z\mid x\in\mathfrak m^k\}

eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper von A definiert.

Diskrete Bewertungsringe und diskret bewertete Körper entsprechen einander.

Allgemeine Bewertungen

Ist G eine totalgeordnete abelsche Gruppe und K ein (kommutativer) Körper, so ist eine Abbildung

v\colon K\to G\cup\{\infty\}

eine Bewertung, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

  • v(ab) = v(a) + v(b)
  • v(a)=\infty\iff a=0
  • v(a+b)\geq\min\{v(a),v(b)\}

für alle a,b\in K.

K heißt dann auch ein bewerteter Körper mit Wertegruppe v(K^\times)\subseteq G.

Bewertungen, Bewertungsringe, Bewertungsideale und Restklassenkörper

Ein nullteilerfreier (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring mit Einselement A heißt Bewertungsring, wenn er die folgende Eigenschaft hat:

Für jedes Element x des Quotientenkörpers von A gilt x\in A oder x^{-1}\in A.

Ist A ein Bewertungsring mit Quotientenkörper K, so kann man eine Bewertung auf K mit Wertegruppe G=K^\times/A^\times definieren:

v\colon K\to G\cup\{\infty\},\quad v(x)=\left\{\begin{matrix}\infty&x=0\\{}[x]&x\in K^\times;\end{matrix}\right.

dabei bezeichnet [x] das Bild von x in G=K^\times/A^\times; die Ordnung auf G ist definiert durch

[x]\geq[y]\iff xy^{-1}\in A für x,y\in K^\times.


Ist umgekehrt K ein bewerteter Körper mit Bewertung v, so ist

A := \{x\in K\mid v(x)\geq0\}

ein Bewertungsring, der dann auch der Bewertungsring zur Bewertung v genannt wird. Die Menge

\mathfrak m := \{x\in K\mid v(x) > 0\}

ist ein Ideal in A, welches in A maximal ist, genannt das Bewertungsideal der Bewertung v. Der Faktorring A/\mathfrak m ist also ein Körper, genannt der Restklassenkörper der Bewertung v oder des Bewertungsrings A.


Die Gruppe K^\times/A^\times ist kanonisch isomorph zur Wertegruppe von v.

Für einen Körper K gibt es also eine eineindeutige Beziehung zwischen Isomorphieklassen von Bewertungen auf K und Bewertungsringen, die in K enthalten sind.


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