Arithmetische Reihe

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen Folge sind. Arithmetische Reihen sind im allgemeinen divergent. Es interessieren deshalb vor allem die Partialsummen, die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

In einer arithmetische Folge lässt sich das \ i-te Folgenglied \ a_i als

a_i = id + a_0 \,

schreiben, wobei d hier die Differenz zwischen zwei Folgengliedern ist, also

a_i = i(a_{n+1} - a_n) + a_0 \,.

Die n-te Partialsumme \ s_n einer arithmetischen Reihe ergibt sich zu

s_n = a_0 + (a_0 + d) + (a_0 + 2 d) + \dotsb + (a_0 + (n-1) d)  + (a_0 + n d) = \sum_{i=0}^n (a_0 + id).

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Summenformel

Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe):

s_n = \sum_{i=0}^n(i \cdot d + a_0)  =  a_0 (n+1) + d\, \frac{n(n+1)}{2} = (n+1)\left(a_0 + d\,\frac{n}{2}\right).

Der Beweis dieser Gleichung wird häufig als erstes Anwendungsbeispiel für die Methode der vollständigen Induktion verwendet.

Spezielle Summen

Für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gilt die Gaußsche Summenformel

\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 +\dotsb+ n = \frac{n(n+1)}{2}

und für die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen

\sum_{k=1}^n(2k-1) = \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) = 1 + 3 + 5 + 7 +\dotsb+ (2n-1) = n^2

mit a_0=1 \,, d=2 \,.

Siehe auch

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