Trägheit


Trägheit
Aufgrund seiner überall vorhandenen Trägheit (auch im Vakuum), muss für einen Körper größerer Schwere stets mehr Kraft aufgewendet werden, um diesen zu bewegen.

Die Trägheit ist die Eigenschaft von Körpern, in ihrem Bewegungszustand zu verharren, solange keine äußere Kraft auf sie einwirkt. Die träge Masse gibt die Größe der Trägheit an. Je größer die träge Masse eines Körpers ist, umso weniger beeinflusst eine auf ihn einwirkende Kraft seine Bewegung.

Die Aussage, dass alle Körper in ihrem Bewegungszustand verharren, solange keine Kraft auf sie wirkt, heißt Trägheitsprinzip und ist eine Grundlage der klassischen Mechanik. Das Trägheitsprinzip steht in engem Zusammenhang mit dem Relativitätsprinzip, das besagt, dass die Naturgesetze in allen gleichförmig bewegten Systemen dieselbe Form annehmen. Solche gleichmäßig bewegten „trägen“ Systeme werden nach dem lateinischen Begriff Inertia für Trägheit als Inertialsysteme bezeichnet.

Nach dem Trägheitsprinzip wird Kraft benötigt, um einen Körper zu beschleunigen, aber auch, um ihn abzubremsen. In Abwesenheit äußerer Kräfte bewegt sich ein träger Körper mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig fort, falls er nicht in Ruhe ist (und bleibt). Den scheinbaren Widerspruch zur Alltagserfahrung, derzufolge es einer Kraft bedarf, eine Geschwindigkeit beizubehalten, erklärt die Physik durch Reibungskräfte.

Auch bei Einwirkung eines Drehmoments zeigen massebehaftete Körper eine Trägheit, die durch das Trägheitsmoment quantifiziert wird.

Inhaltsverzeichnis

Bedeutung für wichtige Prinzipien der Mechanik

Die Trägheit spielt eine wichtige Rolle in vielen zentralen Prinzipien der Mechanik. Sie ist die Grundlage des Trägheitsprinzips, das ein Axiom der newtonschen Mechanik und damit eine Grundlage der klassischen Mechanik ist. Das Relativitätsprinzip, das mit der Trägheit in enger Beziehung steht, ist sowohl in der klassischen Mechanik bedeutend, als auch Grundlage der speziellen Relativitätstheorie. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass träge Masse und schwere Masse äquivalent sind und ist eine der zentralen Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch die Überlegungen Ernst Machs zur Ursache der Trägheit dienten bei der Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie als wichtige Inspiration.

Trägheitsprinzip

Hauptartikel: Erstes Newtonsches Gesetz

Das Trägheitsprinzip besagt, dass ein gleichförmig bewegter Körper seine gleichförmige Bewegung beibehält, speziell also ein ruhender Körper in Ruhe verharrt, sofern keine Kraft auf ihn ausgeübt wird. Ursprünglich wurde dieses Prinzip nur für Stoßprozesse formuliert, da der Begriff der Kraft, die eine Distanzwirkung haben konnte, nicht existierte. Newton formulierte das Prinzip erstmals in der heutigen Form und erklärte außerdem, wie genau eine Kraft den Bewegungszustand eines Körpers ändert. Demnach bewirkt eine Kraft eine dazu proportionale Beschleunigung wobei der Proportionalitätsfaktor die träge Masse des Körpers ist.

In der Relativitätstheorie wird das Trägheitsprinzip darüber hinaus erweitert, indem nicht nur die Masse sondern jede Form von Energie sich träge verhält. So lässt sich ein Analogon des Trägheitsprinzips auch für die Energie eines elektromagnetischen Feldes formulieren. Ebenso wie Energie nach der Relativitätstheorie Trägheit besitzt, hat auch jede Form von Energie eine Gravitationswirkung. Zur vollständigen Beschreibung der Gravitation und indirekt auch der Trägheit wird der Energie-Impuls-Tensor verwendet, der Masse, Energie, Impuls, Druck und Spannung eines physikalischen Systems beschreibt.

In der allgemeinen Relativitätstheorie gilt ein modifiziertes Trägheitsgesetz, das besagt, dass sich ein Körper, der keinen nichtgravitativen Kräften unterworfen ist, entlang einer Geodäten der Raumzeit anstatt einer geraden Linie bewegt. Die Abweichung von einer gleichförmigen Bewegung in einem Gravitationsfeld wird also als Folge einer Krümmung der Raumzeit und damit der Geodäten verstanden. Die Bewegung entlang einer Geodäten der Raumzeit wird physikalisch mit dem freien Fall identifiziert.

Relativitätsprinzip

Hauptartikel: Relativitätsprinzip

Das Relativitätsprinzip besagt, dass in allen gleichförmig bewegten Bezugssystemen, den sogenannten Inertialsystemen, die physikalischen Gesetze gleich sind. Das Trägheitsprinzip folgt aus dem Relativitätsprinzip und der Annahme, dass ein ruhender Körper in Ruhe verharrt. In einem Inertialsystem, das sich relativ zum Ruhesystem des Körpers bewegt, bewegt sich der Körper dann mit gleichbleibender Geschwindigkeit.

Die Aussage, dass alle physikalischen Gesetze vom Bezugssystem unabhängig sind, lässt sich so ausdrücken, dass die physikalischen Gesetze sich unter bestimmten Transformationen, wie einem Ortswechsel, Geschwindigkeitswechsel oder einer Drehung nicht ändern. Dies bezeichnet man als Invarianz unter bestimmten Symmetrien. Nach dem Noether-Theorem gehört zu jeder Symmetrie, unter der ein physikalisches Gesetz (genauer gesagt die zugehörige Wirkung) invariant ist, eine Erhaltungsgröße. Aus der Invarianz unter Ortswechseln folgt demnach die Impulserhaltung, die für einen einzelnen Körper dem Trägheitsprinzip entspricht, und aus der Invarianz unter Geschwindigkeitswechseln folgt der Schwerpunktsatz, der besagt, dass sich der Schwerpunkt eines Systems gleichförmig bewegt. Dies erklärt mathematisch, dass das Trägheitsprinzip aus dem Relativitätsprinzip gefolgert werden kann.

In der Anfangszeit der Mechanik wurde das Relativitätsprinzip nur für mechanische Vorgänge formuliert, da für Elektrizität und Magnetismus noch keine vollständige Erklärung existierte. Die Erklärung durch die Maxwell-Gleichungen warf die Frage auf, ob auch für den Elektromagnetismus das Relativitätsprinzip gelte. Die von Hendrik Antoon Lorentz, Henri Poincaré und Albert Einstein entwickelte spezielle Relativitätstheorie bejahte diese Frage und führte zu einem neuen Verständnis von Raum und Zeit.

Äquivalenzprinzip

Hauptartikel: Äquivalenzprinzip

Die träge Masse ist das Maß für die Trägheit eines Körpers, also ein Maß dafür, wie groß eine Kraft sein muss, um eine bestimmte Beschleunigung eines Körpers zu bewirken. Eine große träge Masse sorgt beispielsweise dafür, dass ein auf ebener Strecke rollendes Auto nur mit großem Kraftaufwand anzuhalten ist oder ein Astronaut einen Satelliten im Weltall nur mit großer Kraftanstrengung bewegen kann. Im Gegensatz dazu gibt die schwere Masse an, wie stark die Gravitationskraft ist, die ein Körper auf andere Körper auswirkt und durch diese erfährt. Inzwischen ist mit sehr hoher Genauigkeit gemessen worden, dass diese beiden Massen äquivalent sind, also als ein und dieselbe Größe aufgefasst werden können. Die Annahme, dass träge und schwere Masse exakt gleich sind, heißt Äquivalenzprinzip.

Es gibt in der klassischen Mechanik keine Erklärung für das experimentell sehr gut bestätigte Äquivalenzprinzip. Es war eine maßgebliche Grundlage für Einsteins Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie. Diese Theorie ist so formuliert, dass die Äquivalenz von schwerer und träger Masse direkt aus der Formulierung folgt, das Äquivalenzprinzip ist also ein grundlegender Bestandteil der Theorie. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie bewirkt die Masse eines Körpers eine Raumzeitkrümmung und dem erweiterten Trägheitsprinzip zufolge bewegen sich andere Körper nun entlang der Geodäten der gekrümmten Raumzeit, so dass die passive Schwere dieser Körper mit ihrer Trägheit identisch ist.

Machsches Prinzip

Hauptartikel: Machsches Prinzip

Der Begriff „machsches Prinzip“ wurde von Albert Einstein für die philosophischen Überlegungen Ernst Machs zur Ursache der Trägheit geprägt. Mach nahm an, dass Trägheit und alle damit zusammenhängenden Eigenschaften eines Körpers durch die anderen Körper im Universum verursacht würde. Indem er ein Gedankenexperiment Newtons aufgriff, stellte er die Vermutung auf, dass ein rotierender Eimer in einem ansonsten leeren Universum keine Trägheit habe und daher auch keine Zentrifugalkraft auf das Wasser wirken könne, so dass die Wasseroberfläche kein Rotationsparaboloid bilden würde.

Einstein griff diesen Gedanken in allgemeinerer Form auf, indem er annahm, dass die Bewegungen von schweren Körpern einen Einfluss auf die Trägheit anderer Körper in der Nähe haben sollten. Er sah daher den Lense-Thirring-Effekt als Bestätigung der machschen Philosophie an. Dieser Effekt beinhaltet, dass die Rotation eines Körpers zu einer Präzession in Bezugssystemen naher Beobachter führt. Die heute (2009) übliche Interpretation dieses Effektes fasst dies als Modifikation des Gravitationsfeldes durch die Rotation auf und nicht als Modifikation der Trägheit naher Körper.

Das Gödel-Universum wird als Lösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante aufgefasst, die nicht mit Machs Vorstellungen in Einklang zu bringen ist. Es existiert jedoch eine Vielzahl verschieden spezifischer Formulierungen des machschen Prinzips, die teilweise auch mit dem Gödel-Universum vereinbar sind.

Durch das der allgemeinen Relativitätstheorie zugrundeliegende Äquivalenzprinzip sind Trägheit und Schwere im Rahmen dieser Theorie nicht eindeutig begrifflich zu trennen, so dass das Verständnis der Trägheit eng mit dem Verständnis der Gravitation verflochten ist.

Trägheit in der Mechanik

Trägheitskräfte

Hauptartikel: Trägheitskraft

In Bezugssystemen, die sich selbst nicht träge bewegen, also keine Inertialsysteme sind, treten Trägheitskräfte auf, wenn Körper innerhalb des Bezugssystems durch Zwangskräfte daran gehindert werden, sich träge zu bewegen. Ein Sitz an einem Kettenkarussell wird zum Beispiel durch die Kette daran gehindert, sich gleichförmig zu bewegen und auf eine Kreisbahn gezwungen. Eine Person auf dem Sitz, hat das Gefühl, eine Kraft, die Zentrifugalkraft, von der Drehachse des Karussells weg zu verspüren. Ein Beobachter, der neben dem Karussell steht, sieht dass die Ketten, an denen der Sitz befestigt ist, die Person von einer geradlinigen Flugbahn ablenken, der Sitz also eine Zentripetalkraft in Richtung der Drehachse auf die Person ausübt. Beides sind unterschiedliche Sichtweisen auf denselben Sachverhalt.

In rotierenden Bezugssystemen treten die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft als Trägheitskräfte auf, während in anderen beschleunigten Bezugssystemen abhängig von der Beschleunigung Trägheitskräfte auftreten, die meist keine besonderen Namen haben.

In der allgemeinen Relativitätstheorie sorgt das modifizierte Trägheitsprinzip dafür, dass sich die Schwerkraft als Trägheitskraft auffassen lässt. Ein Mensch, der auf der Erdoberfläche steht befindet sich nicht im freien Fall, sondern wird von der Erdoberfläche daran gehindert. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie kann der Standpunkt vertreten werden, dass auf den Menschen keine nach unten gerichtete Kraft wirke, sondern die nach oben gerichtete Kraft, die der Erdboden auf den Menschen ausübt und damit seinen freien Fall unterbindet. Diese Sichtweise ist analog zur Interpretation des Beobachters neben dem Karussell, der zu dem Schluss kommt, dass der Sitz gegen den Menschen und nicht der Mensch gegen den Sitz gedrückt werde. Wieder sind beide Sichtweisen gleichwertige Interpretationen desselben Sachverhalts.

Kinematik und Dynamik

Hauptartikel: Kinematik und Bewegung

Die Untersuchung und Beschreibung von Systemen, in denen keine Kräfte wirken, in denen sich also alle Körper gemäß dem Trägheitsprinzip verhalten, heißt Kinematik. Im Gegensatz dazu befasst sich die Dynamik mit Systemen, in denen Kräfte auf die Körper wirken.

Die Kinematik umfasst vor allem die Beschreibung von Stoß- und Streuprozessen. Dabei kommen neben dem Trägheitsprinzip vor allem Erhaltungssätze zur Anwendung. Da Kraftgesetze nicht zur Anwendung kommen, erfordern kinematische Betrachtungen keine Differentialrechnung und sind daher mit einfachen mathematischen Methoden durchführbar.

Geschichte

Antike Theorien zur Bewegung

Vor der Renaissance im 15. Jahrhundert war im europäischen Raum die Theorie der Bewegung von Aristoteles, die dieser im 3. Jahrhundert v.u.Z. formuliert hatte, allgemein anerkannt. Dieser Theorie zufolge wird ein bewegtes Objekt ohne Krafteinwirkung sich verlangsamen und schließlich zur Ruhe kommen, so dass eine fortwährende Krafteinwirkung nötig ist, um ein Objekt in Bewegung zu halten. Aristoteles erklärte die Fortbewegung eines geworfenen Gegenstandes durch eine Kraft, die das umgebende Medium auf ihn ausübe.[1] Daher kam Aristoteles zu dem Schluss, dass eine solche gewaltsame Fortbewegung im Vakuum unmöglich sei, da kein Medium vorhanden sei, das den Körper gegen den Widerstand seiner Schwere in Bewegung halte.[2] Ein Körper der sich in nicht-gewaltsamer Bewegung im Vakuum befinde müsse sich dagegen für immer unbeeinflusst fortbewegen.[3]

Trotz ihres Erfolges und der allgemeinen Akzeptanz wurde Aristoteles’ Lehre der Bewegung wiederholt von Philosophen infrage gestellt. Lukrez behauptete beispielsweise der Grundzustand eines Körpers sei die Bewegung, nicht die Ruhe.[4] Im 6. Jahrhundert n. Chr. vertrat Johannes Philoponos die Ansicht, Aristoteles’ Erklärung der nicht-gewaltsamen Bewegung im Vakuum habe zur Folge, dass ein Medium einen solchen Körper abbremse, was im Widerspruch zur These stehe, dass das Medium die Bewegung eines Körpers aufrecht erhalte. Er schlug daher vor, dass die Bewegung nicht durch das Medium aufrechterhalten werde, sondern durch eine Eigenschaft des Körpers, die erzeugt werde, wenn er in Bewegung versetzt wird.[5] Averroës und viele scholastische Philosophen wandten sich gegen diese Sicht und unterstützten die Sichtweise Aristoteles’. In der islamischen Welt fand Philoponus’ Ansicht jedoch zahlreiche Unterstützer, die seine Thesen weiterentwickelten.

Impetustheorie

Hauptartikel: Impetustheorie

Im 14. Jahrhundert postulierte Johannes Buridan eine bewegungsverursachende Eigenschaft die er Impetus nannte und nahm an, dass der Impetus nicht von allein verringert werde. Stattdessen vermutete er, dass der Luftwiderstand und das Gewicht eines Körpers seinem Impetus entgegenwirke.[6] Buridan postulierte weiter, dass der Impetus mit der Geschwindigkeit zunehme; seine Vorstellung vom Impetus war also dem modernen Begriff des Impulses ähnlich. Er sah seine Theorie allerdings nur als Modifikation von Aristoteles’ Philosophie und hielt an anderen Lehren der Peripatos fest. So ging er weiterhin davon aus, dass ein fundamentaler Unterschied zwischen einem ruhenden und einem bewegten Körper existiere. Neben einem gewöhnlichen geradlinigen Impetus postulierte er auch einen Kreisimpetus, der bewirke, dass sich Himmelskörper auf Kreisbahnen bewegen.

Buridans Schüler Albert von Rickmersdorf (1316–1390) und eine philosophische Schule in Oxford verfolgten die Impetustheorie weiter und führten einige Experimente durch, deren Ergebnisse im Widerspruch zu Aristoteles’ Lehre standen. Nikolaus von Oresme arbeitete die Impetustheorie weiter aus und stellte erstmals die Bewegungsgesetze und Zusammenhänge anderer Größen in grafischer Form dar.

Kurz bevor Galilei seine Theorie der Trägheit aufstellte, modifizierte Giovanni Battista Benedetti die Impetustheorie derart, dass sie nur geradlinige Bewegung beinhaltete.[7] Er nennt die Bewegung eines Steins an einer Schnur als Beispiel für eine geradlinige Bewegung, die durch äußeren Zwang in eine Kreisbewegung umgewandelt wird. Außerdem widersprach Benedetti erstmals der Lehre Aristoteles’, dass Körper umso schneller fallen, je schwerer sie sind, mit einem Gedankenexperiment: Werden zwei fallende Kugeln mit einer (masselosen) Stange verbunden, ändert sich nichts an der Fallgeschwindigkeit, obwohl die Masse des Gesamtkörpers sich vergrößert.

Europäische Renaissance

Das Gesetz von der Trägheit der Masse löste die auf Aristoteles zurückgehende Vorstellung ab, nach der zur Aufrechterhaltung einer Bewegung eine ständige Kraft nötig sei. Das Konzept der Trägheit wurde während des 17. Jahrhunderts von vielen Physikern entwickelt.

So findet sich in den Schriften Galileo Galileis eine erste Formulierung des verwandten Relativitätsprinzips. Galileis Experimente waren jedoch ungeeignet die träge Masse von Körpern festzustellen, da diese bei Fallexperimenten durch die schwere Masse kompensiert wird, die dazu proportional ist. Diese erst später festgestellte Äquivalenz wird als Äquivalenzprinzip bezeichnet. Ein Zeitgenosse und Briefpartner Galileis, Giovanni Batista Baliani, mutmaßte allerdings bereits, dass die Massenunabhängigkeit der Fallzeiten daher rühre, dass die Masse sowohl als „agens“, als auch als „passum“ wirke, was den später eingeführten Konzepten von träger und schwerer Masse entspricht.

Eine erste Formulierung des Trägheitsprinzips stammt von dem kartesianischen Weltbild von René Descartes, das er in seiner Schrift Principia philosophiae darlegte. Seine Formulierung, wie eine spätere Formulierung von Christiaan Huygens, bezog sich dabei vor allem auf Stoßprozesse, sodass anstelle einer einwirkenden Kraft ein Zusammenprall als Ursache für eine mögliche Änderung des Bewegungszustandes genannt wurde. Huygens erhob das Trägheitsprinzip ebenso wie eine erstmalige klare Formulierung des Relativitätsprinzips zu Axiomen, die seiner Behandlung von Stoßprozessen zugrunde liegen.

Die erstmalige Formulierung des Trägheitsgesetzes in der heutigen Form geht auf Isaac Newton zurück, der 1687 in seinem ersten Axiom postuliert:

„Ein Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.“

Newton sah die Quelle der Trägheit in einem Dreibund aus absoluter Masse, Zeit und Raum und entwarf das Wassereimer-Gedankenexperiment:

Im absolut leeren Raum rotiert ein Eimer Wasser. Die Trägheitskräfte sorgen nun dafür, dass sich das Wasser an den Rand des Eimers drängt und eine parabolisch gewölbte Oberfläche entsteht.

Nach Newtons Interpretation spielt hier also der absolute Raum eine zentrale Rolle. Ohne ihn könnte man keine Kreisbeschleunigung (vom Eimer aus betrachtet ist das ganze System ja in Ruhe) feststellen, gegen die sich die Teilchen mit ihrer Trägheit sträuben. Der Raum wird unabhängig vom rotierenden Eimer als real existierendes, absolutes Bezugsystem angenommen.

Einen anderen Ansatz verfolgte Ernst Mach. Er vermutete, dass die Trägheit von allen Massen gegenseitig ausgeübt wird. Ein einzelnes Teilchen in einem leeren Universum hätte demnach keine Trägheit. Diese Sichtweise wurde unter anderem von Albert Einstein als machsches Prinzip bezeichnet.

Einsteins spezielle Relativitätstheorie bedeutete das Ende der von Newton postulierten Absolutheit von Masse, Zeit und Raum. Im Raum-Zeit-Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie sind nur die Raumzeit-Abstände ds2 = dx2 + dy2 + dz2c2dt2 absolut. Räumliche und zeitliche Abstände sowie die Trägheit sind vom Bewegungszustand abhängig. Insbesondere wächst die Trägheit bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit so schnell an, dass diese nicht überschritten werden kann.

In der newtonschen Theorie ist die Gleichheit von träger und schwerer Masse ein nicht weiter erklärbarer „Zufall“, während sie in der allgemeinen Relativitätstheorie als Äquivalenzprinzip postuliert wird. Aus der Äquivalenz von Masse und Energie folgt, dass jede Form von Energie Trägheit besitzt.

Siehe auch

Literatur

  • Walter Greiner: Theoretische Physik 1 – Mechanik Teil 1. ISBN 3-8171-1267-X
  • Brian Greene: The Fabric of the Cosmos – Space, Time, and the Texture of Reality. ISBN 0-375-41288-3
  • Ignazio Ciufolini, John A. Wheeler: Gravitation and inertia. Princeton Univ. Pr., Princeton 1995, ISBN 0-691-03323-4
  • Emil Tocaci: Relativistic mechanics, time and inertia. Reidel, Dordrecht 1985, ISBN 90-277-1769-9
  • Roland Pabisch: Trägheit und Schwere der Energiemasse von Photonen. Springer, Wien 1995, ISBN 3-211-82803-6

Einzelnachweise

  1. Aristoteles: Physics, 8.10, 267a1–21; Aristotle, Physics, trans. by R. P. Hardie and R. K. Gaye.
  2. Aristoteles: Physics, 4.8, 214b29-215a24.
  3. „No one could say why a thing once set in motion should stop anywhere; for why should it stop here rather than here? So that a thing will either be at rest or must be moved ad infinitum, unless something more powerful gets in its way.“ Aristotle, Physics, 4.8, 215a19–22.
  4. Lucretius, On the Nature of Things (London: Penguin, 1988), pp, 60-65
  5. Richard Sorabji, Matter, Space, and Motion: Theories in Antiquity and their Sequel; London: Duckworth, 1988; S. 227–228; Stanford Encyclopedia of Philosophy: John Philoponus.
  6. Jean Buridan: Quaestiones on Aristotle’s Physics. Zitiert im Archiv der Vanderbilt University.
  7. Any “portion of corporeal matter which moves by itself when an impetus has been impressed on it by any external motive force has a natural tendency to move on a rectilinear, not a curved, path.” Giovanni Benedetti: Selection from Speculationum; in: Stillman Drake, I. E. Drabkin: Mechanics in Sixteenth Century Italy; University of Wisconsin Press, 1969, S. 156.

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