Gruppentheorie-Glossar

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Dieses Glossar zur Gruppentheorie soll dem schnellen Nachschlagen dienen.

Wir verwenden folgende Notationen: (G,\circ) und (H,\bullet) sind Gruppen. e\in G=<e_1,...,e_k> ist das neutrale Element einer endlich erzeugten Gruppe mit Erzeugern {e1,...,ek}. U\le G ist Untergruppe. N\trianglelefteq G ist Normalteiler. G / N ist Faktorgruppe. G\simeq H oder G\lesssim H bedeutet „G isomorph zu (einer Untergruppe von) H

Fachbegriffe, die aus dem Themengebiet der Gruppentheorie herausführen sind blau; Begriffe, die innerhalb dieses Glossars erklärt werden, sind grün. Alle Verweise auf Stichworten führen zudem auf einen Artikel in der Wikipedia.

Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Niels Henrik Abel.

A

Abel, Niels Henrik
(* 5. August 1802; † 6. April 1829) war ein norwegischer Mathematiker.
abelsch
heißt eine Gruppe (G,\circ), wenn die Verknüpfung \circ kommutativ ist, also \forall a,b\in G: a\circ b=b\circ a. Benannt nach Niels Henrik Abel.
Allgemeine lineare Gruppe
GL_n(\mathbb{K}) vom Grad n über einem Körper \mathbb{K} ist die Menge aller invertierbaren oder regulären quadratischen Matrizen der Dimension n mit Koeffizienten aus \mathbb{K} und mit der Matrixmultiplikation als Gruppenverknüpfung.
Alternierende Gruppe
Altn oder auch An ist die Menge aller geraden Permutationen einer Menge von n Elementen; für n > 2 eine nicht-triviale Untergruppe der symmetrischen Gruppe. Für n > 4 ist sie einfach. Ihre Ordnung ist n! / 2.
Automorphismus
(altgr.: αὐτομορφισμός, „eigene Gestaltgeber“) ist ein bijektiver Homomorphismus (Isomorphismus) aus einer Gruppe in sich selbst.

B

Bahn
ωG eines Elements \omega \in \Omega unter der Operation mit G ist die Menge aller möglichen Bilder von ω unter der Operation. {\omega}^G \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{c_g(\omega )\mid g\in G\}
Bijektiv
heißt eine Abbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

C

Charakteristische Untergruppe
ist eine Untergruppe, die unter Automorphismen auf sich abgebildet wird, also „fest bleibt“.

D

Darstellung
einer Gruppe vom Grad n ist ein Homomorphismus von einer Gruppe auf eine allgemeine lineare Gruppe. Die Darstellungstheorie ist ein umfangreiches Unterkapitel der Gruppentheorie.
Diedergruppe
heißen eine Serie von Gruppen, die jeweils von zwei Involutionen erzeugt werden. Diedergruppen können als Symmetriegruppe eines regulären n-Ecks aufgefasst werden. Sind a,b erzeugende Involutionen der Gruppe D so hat diese Ordnung 2\cdot \operatorname{o}(ab). D besitzt einen zyklischen Normalteiler N der Ordnung \operatorname{o}(ab) und jedes Element außerhalb von N invertiert diesen. Diedergruppen sind durch die Gruppenordnung bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und in der Literatur als D_{2\cdot k} bzw auch als Dk notiert, wobei k die Ordnung des zyklischen Normalteilers ist.
Direktes Produkt
(bei additiver Interpretation auch direkte Summe) ((G_1,\circ)\times(G_2,\bullet)) zweier (auch beliebig vieler) Gruppen ist die Menge aller Tupel von Gruppenelementen. Mit der elementweisen Verknüpfung bildet es eine Gruppe. Ein Produkt von Untergruppen U_1,..U_n\le G heißt intern, falls

\begin{array}{lcl}
G=U_1U_2..U_n  && \mbox{G ist Produkt aller } U_i\\
U_i\trianglelefteq G  &0<i<n+1 &\mbox{Alle } U_i \mbox{ normal in G}  \\
U_i\cap (U_1..U_{i-1}U_{i+1}..U_n) &  0<i<n+1 
\end{array}
Meistens ist mit dem direkten Produkt das interne direkte Produkt gemeint.

E

Einfach
heißt eine Gruppe aus mindestens zwei Elementen, die nur {e} und sich selbst als Normalteiler enthält. Jede endliche Gruppe ist in gewisser Weise aus einfachen Gruppen zusammengesetzt. Die endlichen einfachen Gruppen sind abschließend klassifiziert.
Einselement
siehe neutrales Element
Endlich
heißt eine Gruppe, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält, also von endlicher Ordnung ist.
Elementar abelsch
heißt eine endliche p-Gruppe, für all deren Elemente gilt, dass xp = 1 ist.
Endlich erzeugt
heißt eine Gruppe, wenn sie von endlich vielen Elementen erzeugt wird. Also jedes Element eine Darstellung als Kombination endlich vieler Erzeuger hat. Die Erzeuger sind i.A. nicht eindeutig. Ist eine endlich erzeugte Gruppe abelsch, gilt der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.
Epimorphismus
(von altgr: έπίμορφήισμός, „Gestalteinführer“) ist ein surjektiver Homomorphismus.
Erzeuger
siehe Erzeugendensystem.
Erzeugendensystem
ist eine Teilmenge M = {ei} einer Gruppe, deren Elemente Erzeuger heißen, sodass jedes Element eine Darstellung als Produkt endlicher Potenzen der Erzeuger hat. Die Länge von M ist die Anzahl der Elemente in M. Die Minimale Länge eines Erzeugendensystems ist für eine gegebene Gruppe eindeutig. Ist sie endlich, heißt sie endlich erzeugt. Ist die Länge gleich eins, heißt G zyklisch. Für „G wird von {M} erzeugt“ schreibt man G = < M > .

F

Faktorgruppe
(auch: Quotientengruppe, Restklassengruppe) G / N ist für N\trianglelefteq (G,\circ) die Menge der (hier Links)-Nebenklassen mit der Verknüpfung \bullet:G/_N\times G/_N \rightarrow G/_N wie folgt erklärt \forall aN,bN \in G/_N: aN\bullet bN \mapsto \bullet (aN,bN)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}(a\circ b)N. Der Zusammenhang von Normalteilern, Homomorphismen und Faktorgruppen ist im Homomorphiesatz zusammengefasst.
Évariste Galois

G

Galois, Évariste
(* 25. Oktober 1811; † 31. Mai 1832) war ein französischer Mathematiker.
Grad einer Darstellung
Dimension der allgemeinen linearen Gruppe, in die eine Darstellung abbildet.
Grad einer linearen Gruppe
ist die Zahl der Spalten (also auch der Zeilen) der quadratischen Matrizen, aus denen diese Gruppe besteht. Siehe allgemeine lineare Gruppe.
Gruppe
ist eine nichtleere Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung, die gewissen Eigenschaften genügt.
Gruppenaxiome
siehe Verknüpfung.
Gruppenhomomorphismus
siehe Homomorphismus.

H

Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Siehe Satz.
Homomorphiesatz
Siehe Satz.
Homomorphismus
von Gruppen ist eine Abbildung \varphi: (G,\circ) \rightarrow (H,\bullet) die die Gruppenstruktur erhält. Also \forall a,b\in G :\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\bullet \varphi(b). Ein Homomorphismus heißt Monomorphismus, falls φ injektiv; Epimorphismus, falls φ surjektiv; Isomorphismus, falls φ bijektiv; Automorphismus, falls φ G in sich selbst überführt, also G = H. Siehe auch Natürlicher Homomorphismus

I

Beispiel: Isomorphismus
Group D8 id.svg
Identität
Group D8 90.svg
r1 (Rotation 90° rechts)
Group D8 180.svg
r2 (Rotation 180° rechts)
Group D8 270.svg
r3 (Rotation 270° rechts)
Group D8 fv.svg
fv (Vertikale Spiegelung)
Group D8 fh.svg
fh (Horizontale Spiegelung)
Group D8 f13.svg
fd (Diagonale Spiegelung)
Group D8 f24.svg
fg (Gegendiagonalspiegelung)
Die Elemente \{\operatorname{id}, r_1, r_2, r_3, f_v, f_h, f_d, f_g\} dieser geometrischen Abstraktion (sog. Symmetriegruppe des Quadrats) bilden mit der Hinereinanderausführung eine Gruppe. Sie ist isomorph zur Dieder Gruppe . Man kann in verschiedenen Darstellungen oft ohne viel Aufwand Informationen über erheblich komplexere Gruppenstrukturen sammeln, die beim Wechseln mit Isomorphismen erhalten bleiben.
Index
einer Untergruppe ist die Anzahl ihrer Rechts- oder Linksnebenklassen.
Involution
(auch Selbstinverse) heißen Gruppenelemente, die sich selbst invertieren.
Isomorph
(von altgr.: ἰσομορφός, „von selber Struktur“) heißen Strukturen, die durch einen bijektiven Homomorphismus (Isomorphismus) aufeinander abgebildet werden können. Isomorphe Strukturen können als bis auf die Bezeichnung ihrer Elemente „identisch“ angesehen werden. Eine Hauptaufgabe der Gruppentheorie ist die möglichst eindeutige Klassifikation von Gruppen „bis auf Isomorphie“. Beispielsweise ist jede zyklische Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der ganzen Zahlen \mathbb{Z}. Für „G ist isomorph zu H“ schreibt man G\simeq H. Für „U ist Isomorph zu einer Untergruppe von G“ schreibt man U\lesssim G
Isomorphismus
ist ein bijektiver Homomorphismus.


K

Kern einer Abbildung
die Teilmenge der Ausgangsmenge, die auf das neutrale Element der Zielmenge abgebildet wird. Jeder Normalteiler ist Kern eines Gruppenhomomorphismus und umgekehrt. Besteht der Kern eines Homomorphismus' nur aus dem neutralen Element, so ist dieser injektiv.
Kleinsche Vierergruppe
V ist die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie hat die Ordnung 4.
kommutativ
siehe abelsch.
Kompositionsreihe
siehe Reihe.
Sophus Lie
Konjugation
mit einem Element g ist die Abbildung \operatorname{c}_g: \ G \rightarrow G, \quad h \mapsto \operatorname{c}_g(h)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} ghg^{-1} Die Konjugation ist ein innerer Automorphismus von G. \operatorname{c}_g\in \operatorname{Inn}(G). Die Abbildung T: \ G \rightarrow \operatorname{Inn}(G), \quad g \mapsto \operatorname{c}_g bildet G in die Gruppe der inneren Automorphismen, einen Normalteiler der Automorphismengruppe, ab. Der Kern von T ist das Zentrum Z(G) von G. Normalteiler sind bezüglich Konjugation invariante Mengen (Auch Untergruppen). Das Zentrum ist die größte, elementweise bezüglich Konjugation invariante Menge.

L

Lie, Marius Sophus
(* 17. Dezember 1842; † 18. Februar 1899) war ein norwegischer Mathematiker.
Lie-Gruppe
ist eine Gruppe, die zugleich eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit ist, und deren Verknüpfung (nebst Umkehrfunktion) eine analytische Funktion ist.
Links-Nebenklassen
Siehe Nebenklasse

M

Monoid
ist eine Halbgruppe mit neutralem Element, aber ohne inverses Element.
Monomorphismus
(altgr.: μονομορφήισμός „einzige Gestaltgeber“) ist ein injektiver Homomorphismus.
Monstergruppe
ist die größte sporadische Gruppe.

N

Beispiel: natürlicher Homomorphismus
Die Abbildung, die in den ganzen Zahlen Elemente
der p-elementigen Faktorgruppe zuordnet.
Die Abbildung entscheidet, ob eine Zahl durch p teilbar ist.
Natürlicher Homomorphismus
ist bezüglich N\trianglelefteq G der Homomorphismus \varphi :G\rightarrow G/_N mit g\mapsto \varphi (g)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} Ng Der Homomorphismus, der jedes Element als Vertreter seiner Faktorgruppe G / N interpretiert.
Nebenklasse
von H zum Element a ist die Menge die durch Verknüpfung von einer festen Seite aller Elemente aus H mit a entsteht. Die Rechtsnebenklasse von H unter a ist also Ha=\{h\circ a\mid h\in H \}
Neutrales Element
ist das Element e \in G, das verknüpft mit beliebigen Element das Element fest lässt. \forall g\in G: e\circ g=g\circ e=g
Normal
siehe Normalteiler.
Normalreihe
siehe Reihe.
Normalisator
NG(U) einer Teilmenge (praktisch meistens Untergruppe) U in G ist die Menge aller Elemente in G, für die U unter Konjugation invariant gelassen wird. N_G(U)=\{g\in G\mid c_g(U)=U \}. Gilt NG(U) = G heißt U Normalteiler.
Normalteiler
ist eine unter Konjugation mit beliebigen Element invariante Untergruppe. Also \forall g\in G: c_g(N)=N oder \forall x\in N: \forall g\in G: g^{-1}xg \in N. Normalteiler zu sein ist gleichbedeutend mit der Gleichheit der rechten und linken Nebenklasse. Das gilt in abelschen Gruppen immer. Für „N ist Normalteiler von G“ schreibt man auch N\trianglelefteq G. N ist genau dann Normalteiler, wenn der Normalisator von N in G gleich G ist.
Nullelement
siehe neutrales Element.

O

Operation
einer Gruppe auf einer Menge Ω ist ein Homomorphismus \operatorname{op}\colon G\rightarrow S_\Omega mit g\mapsto \operatorname{op}(g)\colon\Omega\times\Omega\colon\omega\mapsto c_g(\omega). Eine Operation heißt treu, falls jedes Element aus Ω unter G\setminus \{e\} auch bewegt wird, also \operatorname{Ker}(\omega )=\{ e\}. Kann ein Element bei Operation mit G auf ein anderes abgebildet werden, also falls \exists g\in G:c_g(\alpha)=\beta, sagt man, die Elemente liegen in einer Bahn.
Orbit
siehe Bahn.
Ordnung einer endlichen Gruppe
ist die Anzahl ihrer Elemente.
Ordnung eines Elements
g einer Gruppe G ist, die kleinste positive Potenz von g, die das Einselement ergibt. \operatorname{min}\{m\in \mathbb{N}: g^m=e\} Die Ordnung einer endlichen Gruppe ist durch die Ordnung jedes Elements teilbar. (siehe Satz von Lagrange)

P

p-Gruppe
ist eine Gruppe deren Ordnung Potenz einer Primzahl ist.
Permutationsgruppe
Siehe symmetrische Gruppe.
Prime Restklassengruppe
Siehe Faktorgruppe.
Punktgruppe
Siehe Symmetriegruppe.

Q

Quaternionengruppe
ist die Gruppe des Schiefkörpers der Hamiltonschen Quaternionen
Quotientengruppe
siehe Faktorgruppe.

R

Raumgruppe
ist die Symmetriegruppe eines Kristalls.
Reihe
Eine monotone Folge geeigneter Untergruppen einer Gruppe.
Restklassengruppe
siehe Faktorgruppe.

S

Satz
ist hier eine bewiesene Aussage über algebraische Zusammenhänge. Die Gruppentheorie kennt folgende Sätze:
Satz von Ado
behandelt Darstellbarkeit von Lie-Algebren als Matrizen.
Satz von Artin
auch Artinsches Reziprozitätsgesetz: Die Galoisgruppe einer abelschen Körpererweiterung ist Quotient einer Idealklassengruppe.
Satz von Brauer-Suzuki
Eine Aussage über spezielle Untergruppen.
Bikommutantensatz
Eine von-Neumann-Algebra stimmt mit ihrem doppelten Kommutanten überein.
Satz von Cayley
Jede Gruppe ist isomorph zu einer Gruppe von Permutationen.
Satz von Engel
Charakterisierung nilpotenter Lie-Algebren.
Fünferlemma
Lemma aus der homologischen Algebra (Diagrammjagd)
Hauptsatz der Galoistheorie
Beziehungen zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkörpern von Körpererweiterungen.
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
jede eeaG hat eine Zerlegung in ein direktes Produkt zyklischer Untergruppen.
Homomorphiesatz
besagt, dass das Bild eines beliebigen Gruppenhomomorphismus φ mit der Gruppe nach ihrem Kern isomorph ist: G/_{\operatorname{Ker}(\varphi)}\simeq \operatorname{Im}(\varphi)
Erster Isomorphiesatz
((H\le G)\and (N\trianglelefteq G))\Rightarrow H/_{H\cap N} \simeq HN/_N
Zweiter Isomorphiesatz
Sind N, H\trianglelefteq G Normalteiler, dann gilt \frac{G/_N}{H/_N}\simeq G/_H
Satz von Jordan-Hölder
Zwei beliebige Kompositionsreihen einer Gruppe sind äquivalent.
Satz von Krull-Remak-Schmidt
Gruppen bzw. Moduln mit Endlichkeitsvoraussetzungen sind Produkt von unzerlegbaren Untergruppen bzw. Untermoduln.
Satz von Lagrange
Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe teilt die Gruppenordnung.
Satz von Maschke
Zerlegung einer Gruppendarstellung in ein direktes Produkt irreduzibler Darstellungen.
Lemma von Nakayama
Lemma über endlich erzeugte Moduln.
Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt
Satz über die Basis der universellen einhüllenden Lie-Algebra.
Satz von Schreier
Zwei Normalreihen einer Gruppe lassen sich durch Verfeinerung zu äquivalenten Normalreihen verlängern.
Sylow-Sätze
erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren. (Nach Ludwig Sylow








Spezielle lineare Gruppe
SL_n(\mathbb{K}) vom Grad n über einem Körper \mathbb{K} ist die Menge aller invertierbaren Matrizen A der Dimension n mit der Determinante eins. A\in \operatorname{Mat}_{n,n}(\mathbb{K}):\operatorname{det}(A)=1 Die spezielle lineare Gruppe ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.
spezielle orthogonale Gruppe
SO_n(\mathbb{K}) vom Grad n über einem Körper \mathbb{K} in einem Prähilbertraum ist die Menge aller orthogonalen Matrizen der Dimension n. Die spezielle orthogonale Gruppe ist Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe.
Sporadische Gruppe
ist eine der 26 endlichen einfachen Gruppen, die sich keiner der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen zuordnen lassen.
Sylow-Gruppe
siehe Sylowsätze.
Symmetriegruppe
ist die Menge der Abbildungen eins geometrisches Objekt auf sich selbst mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung. Die Symmetriegruppen regulärer n-Polygone entsprechen der symmetrischen Gruppe auf n Elementen.
Symmetrische Gruppe
Sn besteht aus der Menge alle Permutationen auf einer Menge von n Elementen. Sie hat die Ordnung n!.
Symplektische Gruppe
Sp_n(\mathbb{K}) vom Grad 2n über einem Körper \mathbb{K} ist die Menge aller linearen Abbildungen, die Symplektische Formen, also nicht ausgeartete, alternierende Bilinearformen, invariant lassen. Für Körper mit Charakteristik verschieden von 2 ist die symplektische Gruppe Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe die diese im direkten Produkt mit der speziellen orthogonalen Gruppe erzeugt.
Sylow, Ludwig
(* 12. Dezember 1832; † 7. September 1918) war ein norwegischer Mathematiker.

T

Treue Darstellung
ist ein Monomorphismus einer Gruppe auf die allgemeine lineare Gruppe. Siehe auch Darstellungstheorie.
Triviale Gruppe
besteht nur aus dem neutralem Element.

U

unitäre Gruppe
ist die Gruppe der unitären Matrizen.
Untergruppe
ist eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe (G,\circ ), die bezüglich der Verknüpfung \circ eine Gruppe ist. Insbesondere ist die Menge unter der Verknüpfung und des Bildens der inversen Elemente abgeschlossen. Untergruppe zu sein ist äquivalent zur Gültigkeit des sogenannten Untergruppenkriteriums: (e\in U)\and (\forall a, b\in U:a\circ b^{-1}\in U)
Untergruppenkriterium
siehe Untergruppe.
Unimodulare Gruppe
ist eine Gruppe, für die das linksseitige und rechtsseitige Haarsche Maß übereinstimmen. Standardbeispiel sind die unimodularen Matrizen, auch spezielle lineare Gruppe genannt.

V

Verknüpfung
Eine binäre Relation \circ: G\times G\rightarrow G, die abgeschlossen und assoziativ ist. Zudem gibt es ein Element, das bezüglich der Verknüpfung alle anderen unverändert lässt, das neutrale Element e und zu jedem Elementg\in G eines, das dieses auf das neutrale Element abbildet, das inverse Element g − 1. In einer abelschen Gruppe ist die Verknüpfung kommutativ. Es gilt also:

\begin{array}{lcl}
\forall a,b,c \in G: a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c & \mbox{Assoziativität} \\
\exists e\in G: \forall g\in G: e\circ g=g & \mbox{Neutrales Element} \\
\forall g\in G: \exists g^{-1} \in G: g^{-1}\circ g=e & \mbox{Inverses Element}\\
\forall a,b \in G: a\circ b=b\circ a & \mbox{(Kommutativ)}
\end{array}

W

Wirkung
Siehe Operation.

Z

Zentralisator
ZG(x) eines Elements x\in G ist die aus allen mit x kommutierenden Elementen bestehende Menge. Z_G(x)=\{g\in G \mid gx=xg\}
Zentrum
Z(G) einer Gruppe G ist die größte Untergruppe von G, in der jedes Element mit allen Elementen von G kommutiert. Z(G)=\{x\in G\mid \forall g\in G: gx=xg\}
Zyklisch
heißt eine Gruppe G, die von genau einem Element g erzeugt wird: Alle Elemente von G sind Potenzen von g. Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist das direkte Produkt von zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung. (Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen)

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