Modulare Funktion (Gruppentheorie)

Die modulare Funktion ist ein Begriff aus der harmonischen Analyse, das heißt aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen. Die modulare Funktion misst eine links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

Definition

Es sei G eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes Haarsches Maß μ auf G. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass μ(tA) = μ(A) für alle $t\in G$ und alle Borelmengen $A\subset G$. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass μ auch rechtsinvariant ist, das heißt es kann durchaus $\mu(At) \not= \mu(A)$ gelten.

Für festes $t\in G$ ist die Abbildung $\mu_t:\,A\mapsto \mu(At)$ ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl $\Delta_G(t)\in \R^+$ mit $\mu_t \,=\, \Delta_G(t)\mu$, das heißt $\mu(At) \,=\, \Delta_G(t)\mu(A)$ für alle messbaren $A\subset G$.

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung $\Delta_G:G\rightarrow \R^+$, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes μ erweist und ein stetiger Homomorphismus von G in die multiplikative Gruppe $\R^+$ ist. ^[1] Δ_G heißt die modulare Funktion von G.

Unimodulare Gruppen

Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion Δ_G(t) = 1 für alle $t\in G$ ist, nennt man unimodular. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

• Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
• Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der unimodularen Funktion muss eine kompakte Untergruppe in $\R^+$ sein, und da kommt nur {1} in Frage.
• Diskrete Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des Zählmaßes sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die allgemeine lineare Gruppe $GL(n,\R)$. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

$\mu(A) = \int_A\frac{1}{|\det(u)|}\,\mathrm{d}\lambda(u)$

gegeben, wobei λ das Lebesguemaß auf $\R^{n^2}$ ist.

Beispiel

Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale unimodulare Funktion. Es sei G die lokalkompakte Gruppe aller $2\times 2$-Matrizen $\begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ mit $a,b\in \R, a>0$. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch $\mu(A) = \int_{\R} \int_{\R^+}\frac{1}{a^2}\,\mathrm{d}a\mathrm{d}b$ gegeben, ein rechtsinvariantes durch $\nu(A) = \int_{\R} \int_{\R^+}\frac{1}{a}\,\mathrm{d}a \mathrm{d}b$. Damit ergibt sich ^[2] $\Delta_G \begin{pmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\,=\,\frac{1}{a}$.

Rechenregeln

Es sei G eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß μ. Für eine Funktion $f:G\rightarrow R$ sei $f_s(t)\,:=\, f(ts^{-1})$, die sogenannte Translation von f um s.

Ist χ_A die charakteristische Funktion der Borelmenge A, so ist (χ_A)_s = χ_As und daher nach Konstruktion der unimodularen Funktion

$\int (\chi_A)_s(t)\mathrm{d}\mu(t) = \int \chi_{As}(t)\mathrm{d}\mu(t) = \mu(As) = \Delta_G(s)\mu(A) = \Delta_G(s) \int \chi_A(t) \mathrm{d}\mu(t)$.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede μ-integrierbare Funktion f^[3]:

$\int f_s(t) \mathrm{d}\mu(t) = \Delta_G(s) \int f(t) \mathrm{d}\mu(t)$.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für μ-integrierbare Funktionen f auf G gilt^[4]

$\int f(t^{-1})\Delta_G(t^{-1})\mathrm{d}\mu(t) \,=\, \int f(t) \mathrm{d}\mu(t)$.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der Involution auf der Faltungsalgebra L¹(G) vor. Auf dem L¹-Raum über (G,μ) definiere man für Funktion $f,g \in L^1(G)$

$f \star g(t) \,:= \int f(s)g(s^{-1}t) \mathrm{d}\mu(s)$

$f^*(t) := \Delta_G(t^{-1})\overline{f(t^{-1})}$.

Dabei ist $f\star g$ nur fast überall definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die komplexe Konjugation. Mit dem durch $\star$ definierten sogenannten Faltungsprodukt und der Abbildung $f\mapsto f^*$ wird L¹(G) zu einer Banachalgebra mit isometrischer Involution^[5]. Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der harmonischen Analyse.

Einzelnachweise

1. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory, Birkhäuser, Boston (1980), ISBN 3-7643-3003-1, Satz 9.3.4
2. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory, Birkhäuser, Boston (1980), ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 9.3, Übung 2
3. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory, Birkhäuser, Boston (1980), ISBN 3-7643-3003-1, Text nach Satz 9.3.3
4. ↑ Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co. (1953), §30B
5. ↑ J. Dixmier: C*-algebras, North Holland Publishing Company (1977), ISBN 0-7204-2450-X, Kapitel 13.2