Adjungierte Matrix

In der linearen Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen Matrix A adjungierte Matrix A * eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Andere Schreibweisen für die adjungierte Matrix sind A^\dagger, AH und \operatorname{adj}(A). Die Notation \operatorname{adj}(A) ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die Adjunkte beziehungsweise komplementäre Matrix verwendet wird.

Definition

Sei A eine n\times m-Matrix über dem Körper \Bbb K der reellen oder komplexen Zahlen, das heißt \Bbb K=\R oder \Bbb K=\Bbb C.

Die zu A adjungierte m\times n-Matrix A * ist durch folgende Eigenschaft definiert:

 \langle Av, w\rangle_n = \langle v, A^*\,w\rangle_m für alle (v, w) \in\Bbb K^m\times \Bbb K^n.

Dabei bezeichnet \langle\cdot,\cdot\rangle_k das kanonische Skalarprodukt des \Bbb K^k.

Berechnung und Rechenregeln

Ist A eine reelle Matrix, dann ist die zu A adjungierte Matrix die Transponierte von A:

A * = AT

Ist A eine komplexe Matrix, dann ist die zu A adjungierte Matrix die Transponierte der komplex Konjugierten von A:

A^* = \overline A^T

Gilt A * = A, so heißt A selbstadjungiert. Im reellen Fall heißt die Matrix dann auch symmetrisch und im komplexen Fall auch hermitesch.

Im Folgenden seien A und B Matrizen und r eine komplexe Zahl, dann gilt:

\begin{alignat}{2}\left(A + B\right)^* &= A^* + B^*
\\ (rA)^* &= \overline{r}A^*
\\ \left(AB\right)^* &= B^*A^*
\\ \left(A^*\right)^* &= A &\quad&\mathrm{f\ddot ur}\text{ jede beliebige Matrix}
\\ \left(A^{-1}\right)^* &= \left(A^*\right)^{-1} &\quad&\text{falls}\ A\ \text{invertierbar ist}
\\ \det(A^*) &= \overline{\det(A)}\end{alignat}

Verallgemeinerung

In der Funktionalanalysis wird die adjungierte Matrix zum adjungierten Operator verallgemeinert.

Für einen Morphismus F: V \rightarrow W zwischen zwei Hilberträumen wird ein adjungierter Morphismus \operatorname{adj}(F): W \rightarrow V durch die Eigenschaft:

\langle \operatorname{F}(v), w \rangle_W = \langle v, \operatorname{adj}(F)(w)\rangle_V für alle (v,w) \in\ V\times W

definiert. Man kann dann einen Zusammenhang zum dualen Operator F^*: V^* \rightarrow W^* herstellen.


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