Konjugation (Mathematik)

Der grüne Zeiger im oberen Bildteil beschreibt die komplexe Zahl z = a + bi in der komplexen Zahlenebene (Gaußsche Zahlenebene). Die komplexe Konjugierte $\bar z=a-b\mathrm i$ entsteht durch Spiegelung an der x-Achse (unterer grüner Zeiger). Die blauen Striche sollen die reellen und imaginären Anteile andeuten.

In der Mathematik bezeichnet man als komplexe Konjugation die Abbildung

$\Bbb C\to\Bbb C,\quad z=a+b\cdot\mathrm{i}\;\;\mapsto\;\; \bar z=a-b\cdot\mathrm{i}$

im Körper der komplexen Zahlen. Sie ist ein Körperautomorphismus von $\Bbb C$, also mit der Addition und Multiplikation verträglich:

$\overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot\bar z$.

Die zu $z=a+b\cdot\mathrm{i}$ konjugierte Zahl $\bar z = a-b\cdot\mathrm{i}$ hat also denselben Realteil, aber das entgegengesetzte Vorzeichen im Imaginärteil.

In der Exponentialform ist die Konjugierte der Zahl

z = re^iφ

die Zahl

$\bar z = r e^{-\mathrm i\varphi}.$

Sie hat also bei unverändertem Betrag den im Vorzeichen entgegengesetzten Winkel von z. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden bei der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.

Rechenregeln

Für alle komplexen Zahlen $z_1,z_2, z=a+b\,\mathrm{i}\in\Bbb C$ gilt:

• $a = \mathrm{Re}(z) = \frac12 ( z + \overline z)$

• $b = \mathrm{Im}(z) = \frac{1}{2\mathrm{i}} ( z - \overline z )$

• $z \cdot\overline z = |z|^2 = a^2+b^2$

• $\overline{z_1 + z_2} = \overline z_1 + \overline z_2$

• $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline z_1 \cdot \overline z_2$

• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline z_1}{\overline z_2}$

• $\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}$

• $\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}$ für $z \neq 0$

• $\overline{\varphi(z)} = \varphi(\overline z)$ gilt allgemein für jede holomorphe Funktion φ, deren Einschränkung auf die reelle Achse reellwertig ist.

Anwendung

Mit Hilfe der Konjugation können die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden:

• Zu $z\in\Bbb C$ mit $z\neq 0$ ist

$z^{-1} = \frac1z = \frac1z\frac{\bar z}{\bar z}= \frac{\bar z}{|z|^2}$

das multiplikativ Inverse.

• Für die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir:

${y\over z} ={y\over z} \frac{\bar z}{\bar z}= \frac{y\bar z}{|z|^2}$

oder ausführlicher:

$\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}} = \frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}\,\mathrm{i}.$

Komplexe Konjugation bei Matrizen

Die komplex Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. Die Transposition einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird hermitesche Transposition genannt. Für Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin, dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der adjungierten Matrix.

Da die Operation eine einfache Erweiterung der Konjugation von Matrixelementen auf Matrizen ist, wird die komplex Konjugierte einer Matrix oft ebenfalls mit einem Oberstrich gekennzeichnet. Ein einfaches Rechenbeispiel:

$A=\begin{pmatrix} 2 & \mathrm{i} & 3 + \mathrm{i} \\ -\mathrm{i} & 5 + 3\mathrm{i} & 5\mathrm{i} \\ \end{pmatrix} \Leftrightarrow \overline A = \begin{pmatrix} 2 & -\mathrm{i} & 3 - \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 5 - 3\mathrm{i} & -5\mathrm{i} \\ \end{pmatrix}$

Verallgemeinerung

In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L / K heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen „Konjugierte von a (in L)“. Jeder K-Automorphismus von L (d. h. ein L-Automorphismus, der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.

Analog definiert man Konjugiertheit von Elementen und Idealen bezüglich einer Ringerweiterung.