Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen in der Molekülphysik und der Kristallographie, wo sie auch Kristallklassen genannt werden. Bezeichnet werden die Punktgruppen in der Schönflies-Notation. In der Kristallographie wird auch die Hermann-Mauguin-Symbolik verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Grundlagen

Die Symmetriegruppe eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben. Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen: Identitätsabbildung, Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus eine Drehspiegelung und eine Drehinversion. Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können keine Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt sowohl diskrete, als auch kontinuierliche Punktgruppen. Die diskreten Punktgruppen kann man in wieder zwei unterschiedliche Arten einteilen:

  • Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei
  • Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei.

Die diskreten Punktgruppen mit maximal einer ausgezeichneten n-zähligen Drehachse können zusätzlich mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein. Insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten:

Gruppensymbol (Schönflies) Gruppe Erläuterung
Cn Drehgruppe Eine n-zählige Drehachse
Cnv 1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten. (v: vertikale Spiegelebene)
Cnh 1 Cn-Achse + 1 Spiegelebenen senkrecht zu dieser Achse. (h: horizontale Spiegelebene)
Dn Diedergruppe 1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu
Dnd 1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der Cn-Achsen enthalten. (d: diagonale Spiegelebene)
Dnh 1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Sn Drehspiegelgruppe 1 n-zählige Drehspiegelachse

Für einzelne Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

  • CS ≡ C1v ≡ C1h ≡ S1 (S = Spiegelung)
  • Ci ≡ S2 ( i= Inversion (Punktspiegelung))

Die Punktruppen, die mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei besitzen, entsprechen den Symmetriegruppen der Platonischen Körper.

  • Die Tetraedergruppen : T, Td, Th. Td entspricht der vollen Symmetrie eines Tetraeders.

Die kontinuierlichen Punktgruppen werden auch Curie-Gruppen genannt. Sie bestehen aus den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und den Kugelgruppen ( mit zwei unendlichzähligen Drehachsen).

Kristallographische Bedeutung / Kristallklassen

Die möglichen Symmetrien eines Kristalls werden mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen kommen hier auch Translationen, Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.

Streicht man in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen durch entsprechende Drehachsen und Spiegelebenen, so erhält man die sogenannte geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls. Als Kristallklassen kommen daher nur solche Punktgruppen in Frage, deren Symmetrie mit einem unendlich ausgedehnten Gitter vereinbar ist. Wie Pierre Curie erkannte, sind in einem Kristall nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die Punktgruppen, in denen keine oder nur 2-,3-,4- oder 6- zählige Drehachsen vorkommen bezeichnet man daher als kristallographische Punktgruppen. Es gibt 32 kristallographische Punktgruppen.

Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen T einer Raumgruppe R bilden einen Normalteiler von R. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe R/T isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, das heißt seine makroskopischen Eigenschaften. An andren Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen ist kein allgemeines Naturgesetz. Derartige Drehachsen kommen sowohl bei Molekülen, als auch in Festkörpern in den Quasikristallen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle wurde das Verbot für Kristalle als universell gültig angenommen[1].

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Die 32 kristallographischen Punktgruppen

Punktgruppen und Kristallklassen
Kristallsystem Kristallklasse Schoenflies Hermann-Mauguin Hermann/Mauguin Kurzsymbol Beispiel
Triklin triklin-pedial C1 1\ 1\ Axinit
triklin-pinakoidal Ci \bar{1} \bar{1} Anorthit
Monoklin monoklin-sphenoidisch C2 2\ 2\ Zucker
monoklin-domatisch Cs m\ m\ Skolezit
monoklin-prismatisch C2h 2/m\ 2/m\ Gips
Orthorhombisch rhombisch-disphenoidisch D2 222\ 222\ Epsomit
rhombisch-pyramidal C2v mm2\ mm2\ Struvit
rhombisch-dipyramidal D2h 2/m\ 2/m\ 2/m m\ m\ m Topas
Tetragonal tetragonal-pyramidal C4 4\ 4\ Wulfenit
tetragonal-disphenoidisch S4 \bar{4} \bar{4} Gahnit
tetragonal-dipyramidal C4h 4/m\ 4/m\ Scheelit
tetragonal-trapezoedrisch D4 422\ 422\ Cristobalit
ditetragonal-pyramidal C4v 4mm\ 4mm\ Diaboleit
tetragonal-skalenoedrisch D2d \bar{4}2m\ oder \bar{4}m2 \bar{4}2m\ Chalkopyrit
ditetragonal-dipyramidal D4h 4/m\ 2/m\ 2/m 4/m\ m\ m Zirkon
Trigonal trigonal-pyramidal C3 3 \! 3 \! Gratonit
rhomboedrisch C3i \bar{3} \bar{3} Dolomit
trigonal-trapezoedrisch D3 32\ oder 321\ oder 312\ 32\ Quarz
ditrigonal-pyramidal C3v 3m\ oder  3m1\ oder 31m\ 3m\ Turmalin
ditrigonal-skalenoedrisch D3d \bar{3} 2/moder \bar{3} 2/m 1oder \bar{3} 1 2/m \bar{3} m Calcit
Hexagonal hexagonal-pyramidal C6 6\ 6\ Nephelin
trigonal-dipyramidal C3h \bar{6} \bar{6} Li2O2
hexagonal-dipyramidal C6h 6/m\ 6/m\ Apatit
hexagonal-trapezoedrisch D6 622\ 622\ Hochquarz
dihexagonal-pyramidal C6v 6mm\ 6mm\ Wurtzit
ditrigonal-dipyramidal D3h \bar{6}m2oder \bar{6}2m \bar{6}m2 Benitoit
dihexagonal-dipyramidal D6h 6/m\ 2/m\ 2/m\ 6/m\ m\ m\ Apatit
Kubisch tetraedrischpentagondodekaedrisch T 23\ 23\ NaBrO3
disdodekaedrisch Th 2/m\ \bar{3} m \bar{3} Pyrit
pentagonikositetraedrisch O 432\ 432\ Melanophlogit
hexakistetraedrisch Td \bar{4}3m \bar{4}3m Sphalerit
hexakisoktaedrisch Oh 4/m\ \bar{3}\ 2/m m\bar{3}m Diamant

Punktgruppen in der Molekülphysik

Punktgruppen und Molekülsymmetrie
Schoenflies H. / M. Symmetrieelemente Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1 1\ C1 CHFClBr
Cs ≡ S1 m\ σ ≡ S1 BFClBr, SOCl2
Ci ≡ S2 \bar{1} i ≡ S2 1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2 2\ C2 H2O2, S2Cl2
C3 3\ C3 Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4 4\ C4 12-Krone-4
C5 5\ C5 15-Krone-5
C6 6\ C6 18-Krone-6
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1h 2mm\ C2, 2σv H2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3v 3m\ C3, 3σv NH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4v 4mm\ C4, 4σv SF5Cl, XeOF4
C5v - C5, 5σv Corannulen, C5H5In
C6v 6mm\ C6, 6σv Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v - C, ∞σv lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2v 2/m\ C2, σh, i Oxalsäure, trans-Buten
C3h ≡ S3 3/m\ C3, σh Borsäure
C4h 4/m\ C4, σh, i Polycycloalkan C12H20
C6h 6/m\ C6, σh, i Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4 \bar{4} S4 Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3i \bar{3} S6 Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v 222\ 3C2 Twistan
D3 32\ C3, 3C2 Tris-chelatkomplexe
D4 422\ C4, 4C2 -
D6 622\ C6, 6C2 Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2h mmm\ S2, 3C2, 2σv, σh, i Ethen, p-Dichlorbenzol
D3h \bar{6}2m S3, C3, 3C2, 3σv, σh BF3, PCl5
D4h 4/mmm\ S2, C4, 4C2, 4σv, σh, i Re2(CO)10
D5h - S2, C5, 5C2, 5σv, σh IF7
D6h 6/mmm\ S2, C6, 6C2, 6σv, σh, i Benzol
D∞h - S2, C, ∞σv lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4v \bar{4}2m\ S4, 3C2, 2σd Propadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6v \bar{3}m\ S6, C3, 3C2, 3σd, i Cyclohexan
D4d ≡ S8v - S8, C4, 4C2, 4σd Cyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v - S10, C5, 5C2, 5σd Ferrocen
Tetraedergruppen
T 23\ 3S4, 4C3, 3C2 Pt(PF3)4
Th m\bar{3} 4S6, 4C3, 3C2, 3σh, i Fe(C6H5)6
Td \bar{4}3m 3S4, 4C3, 3C2, 6σd Methan, Phosphor (P4), Adamantan
Oktaedergruppen
O 432\ 3C4, 4C3, 6C2 -
Oh m\bar{3}m\ 4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, i SF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I - 12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2 Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
Ih - 12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, i Fulleren-C60
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh - ∞C, ∞σ, i einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben. Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors beziehungsweise der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.

Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe dieser hat im allgemeinen 34 = 81 Komponenten. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten: C1111 (=C2222=C3333), C1122 ( = C2233 = C1133) und C1212 (= C1313=C2323). Alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls beziehungsweise Kristalls die Anzahl der infrarot- und ramanaktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

Weblinks

 Commons: Point groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. The Nobel Prize in Chemistry 2011. Nobelprize.org (offizielle Homepage des Nobelpreises), abgerufen am 21. Oktober 2011 (englisch).

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