Polygon
verschiedene Polygone bzw. polygonale Flächen
Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; zurückzuführen auf πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Ein Polygon erhält man, indem man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken miteinander verbindet, sodass durch den entstandenen Linienzug eine zusammenhängende Fläche umschlossen wird. Auch diese so entstandene Fläche wird oft Polygon genannt. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind aus dem Alltag bekannte Beispiele für Polygone.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Definition

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel P := \left( P_1, P_2, \ldots , P_n \right), P_i \in \mathbb{R}^2, 1 \le i \le n von n Punkten (die Eckpunkte oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird.

Die Strecken \overline {P_i P_{i+1}} \left(i=1, \ldots, n-1 \right) und \overline { P_n P_1 } bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken \overline { P_i P_j } zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen.

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

  • Das Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch Pn , P1 , P2 und Pn − 1 , Pn , P1 gelten als angrenzende Eckpunkte.

Mathematische Beziehungen

Innenwinkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel

 \alpha_1+...+\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ.

Sind darüber hinaus alle Innenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

 \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ.

Anzahl der Diagonalen

Für konvexe Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der n Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke Pa zur Ecke Pb ist mit der Verbindung von Pb nach Pa identisch.
  3. Genau n Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein konvexes n-Eck genau \tfrac{n \cdot (n-1)}{2} - n Diagonalen.

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen (s. u.) Polygons durch kartesische Koordinaten (xi,yi) gegeben sind, kann man die Fläche des Polygons nach der Gaußschen Trapezformel berechnen:

\mathrm 2 A\ =\ \left|\sum_{i=1}^n (y_{i} + y_{i+1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\right| \ =\ \left|\sum_{i=1}^n (x_{i} + x_{i+1})\cdot (y_{i+1}-y_{i})\right|

Wobei die Indizes, die größer als n sind, immer modulo n betrachtet werden müssen, d. h. mit xn + 1 ist x1 gemeint.

Approximation

In der Informatik wichtige Approximationen komplexer Polygone sind die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

Besondere Polygone

Unter den beliebig vielen möglichen Polygonen stellen die nachstehend aufgelisteten Klassen von Polygonen etwas Besonderes dar. Einige von ihnen können entweder unerwarteterweise exakt (Beispiel 65537-Eck) oder in sehr guter Näherung (Beispiel Siebeneck) mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Andere haben neben der geometrischen eine Bedeutung als Form in der Architektur (Beispiel Pentagon) oder in der Symbolik (Beispiel Pentagramm).

Spezielle Typen

Regelmäßige Polygone

Heptagon.svg

einfaches, nicht überschlagenes, planares, konvexes, regelmäßiges Siebeneck

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein. Hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck bezeichnet. Reguläre Vielecke sind isogonal, d. h. seine Ecken liegen gleichabständig, also unter gleichem Zentriwinkel, auf einem Kreis.

Ein reguläres n-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius ru und einen Inkreis mit Radius ri. Die Länge jeder Seite wird mit a bezeichnet, die Seitenanzahl mit n. Daraus ergeben sich folgende Formeln für reguläre, nicht-überschlagene Polygone:

Flächeninhalt

A = n \frac{\, a\, r_i }{2} = \frac{n}{2}\, r_u^2 \, \sin { \frac{2 \pi }{n}}
= \frac{1}{4} n a^2 \cot \frac{180^\circ}{n}
= \frac{n\cdot a^2}{4\cdot\tan \left( \frac{180^\circ}{n} \right)}
Inkreisradius
 r_i = \frac{a}{2} \cot \frac{180^\circ}{n}
=\frac{a} {2\cdot\tan \left( \frac{180^\circ}{n} \right)}
Umkreisradius
 r_u = \frac{a}{2\cdot\sin \left( \frac{180^\circ}{n} \right)}
Wichtige Kenndaten: (r = Radius des Umkreises)
Regelmäßige Polygone
Polygon Seitenlänge
a
Zentriwinkel
α
Umfang
u
Fläche
A
Dreieck  a = r \cdot \sqrt{3}  120^\circ  u = r \cdot 3 \sqrt{3}  A = r^2 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{4}

A \approx r^2 \cdot 1{,}299038

Quadrat  a = r \cdot \sqrt{2}  90^\circ  u = r \cdot 4 \sqrt{2}  A = r^2 \cdot 2
Fünfeck  a = r \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}  72^\circ  u = r \cdot 5 \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}  A = r^2 \cdot \frac{5}{8} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}

A \approx r^2 \cdot 2{,}377641

Sechseck a = r \, 60^\circ u = r \cdot 6  A = \frac{3}{2} r^2 \sqrt{3}

A \approx r^2 \cdot 2{,}598076

Siebeneck a \approx r \cdot 0{,}867767 51 \tfrac{3}{7}^\circ u \approx r \cdot 6{,}074372 A \approx r^2 \cdot 2{,}736410
Achteck a = r \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} 45^\circ u = r \cdot 8 \sqrt{2 - \sqrt{2}}
u \approx r \cdot 6{,}122935
A = r^2 \cdot 2 \sqrt{2}

A \approx r^2 \cdot 2{,}828427

Neuneck a \approx r \cdot 0{,}68404029 40^\circ u \approx r \cdot 6{,}15636258  A \approx r^2 \cdot 2{,}892544
Zehneck  a = r \cdot \frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1 \right)

a \approx r \cdot 0{,}618034

 36^\circ  u = r \cdot 5 \left(\sqrt{5}-1 \right)

u \approx r \cdot 6{,}180340

 A = r^2  \cdot \frac{5}{4} \sqrt{10- 2\sqrt{5}}

 A \approx r^2 \cdot 2{,}938926

Zwölfeck  a = r \cdot  \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}

 a \approx r \cdot 0{,}517638

 30^\circ  u = r \cdot 12 \sqrt{ 2 - \sqrt{3}}

u \approx r \cdot 6{,}211657

 A = r^2  \cdot 3
n-Eck  a = 2 \cdot r \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}  \frac{360^\circ}{n}  u = 2 \cdot n \cdot r \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}  A = \frac{r^2 \cdot n}{2} \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}
Grenzwert n \to \infty (Kreis)  \to 0  \to 0 u = r \cdot 2 \pi

u \approx r \cdot 6{,}283185

A = r^2 \cdot \pi

A \approx r^2 \cdot 3{,}141593

andere Typen

  • Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen.
  • Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede Ecke zu höchstens zwei Kanten gehört (das heißt, es liegt keine Selbstüberschneidung vor), bezeichnet man das Polygon als einfach.
  • Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
  • Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.
  • Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
  • Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (d.h. der Innenwinkel an jeder Kante beträgt entweder 90° oder 270°).

Berühmte Vielecke

Polygone in der Computergrafik

In der 3D-Computergrafik werden beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Insbesondere Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen.

Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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Synonyme:

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  • Polygon [1] — Polygon (Vieleck), eine von geraden Linien begrenzte ebene Figur. Je nachdem die Zahl dieser Begrenzungslinien (Seiten) gleich 3, 4 ... n ist, heißt das Polygon Dreieck, Viereck ... n eck. Die Zahl der Ecken ist gleich derjenigen der Seiten. Die… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Polygōn [1] — Polygōn (griech., Vieleck), die ebene geschlossene Figur, die man erhält, wenn man in der Ebene eine Reihe von Punkten A, B, C etc., M, N (die Ecken des Polygons) annimmt und jeden dieser Punkte mit dem nächstfolgenden und den letzten mit dem… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Polygon [2] — Polygon der Geschwindigkeiten. Aus zwei Geschwindigkeiten eines Punktes ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit als die geometrische Summe beider oder die Diagonale des Parallelogramms der Geschwindigkeiten. Besitzt der Punkt mehrere… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Polygon [3] — Polygon der Kräfte. Wirken auf einen Punkt zwei Kräfte, so ist ihre Resultante deren geometrische Summe und wird als die Diagonale des Kräfteparallelogramms gefunden. Wirken mehrere Kräfte auf denselben, so ergibt sich die Resultante derselben… …   Lexikon der gesamten Technik

  • polygon — (n.) 1570s, from L. polygonum, from Gk. polygon polygon, from neuter of polygonos many angled, from polys many (see POLY (Cf. poly )) + gonia angle (see KNEE (Cf. knee)) …   Etymology dictionary

  • Polygon — Pol y*gon, n. [Gr. poly gwnos polygonal; poly s many + gwni a angle: cf. F. polygone.] (Geom.) A plane figure having many angles, and consequently many sides; esp., one whose perimeter consists of more than four sides; any figure having many… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • Polygōn — (gr.), 1) so v.w. Vieleck; 2) das Vieleck, mit welchem man beim Bau einer Festung den zu befestigenden Raum behufs der Construction der anzulegenden Werke umgibt. Jede Seite dieses Vielecks heißt Polygōne od. Polygonseite. Ist das Vieleck ein… …   Pierer's Universal-Lexikon

  • Polygōn [2] — Polygōn (griech.), in der Befestigungskunst das Vieleck, das dem Zuge der Hauptumwallung der Festung zugrunde liegt, auf dessen (gedachten) Seiten die einzelnen Fronten konstruiert sind. Polygonalbefestigungen heißen solche, bei denen der… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Polygon — Polygōn (grch.), Vieleck, eine von geraden Linien begrenzte ebene Figur (Dreieck, Viereck etc.) …   Kleines Konversations-Lexikon

  • Polygon — Polygon, Vieleck; vielseitige, geschlossene Schanze; P.alsystem, im Festungsbau ein Hauptwall nur aus geraden Linien bestehend, die in ausspringenden Winkeln an einander stoßen u. den innern Festungsraum begränzen. P.isch, vieleckig; P.alzahlen,… …   Herders Conversations-Lexikon

  • Polygon — betyder mangekant og er en fællesbetegnelse for todimensionale figurer med mange sider. De enkelte polygoner har deres egne navne. Her er nogle af dem. Trigon trekant Tetragon firkant Pentagon femkant Heksagon sekskant Heptagon syvkant Oktagon… …   Danske encyklopædi

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