Algebra über einem Körper

Eine Algebra über einem Körper K, Algebra über K oder K-Algebra (früher auch als lineare Algebra bezeichnet)[1] ist ein Vektorraum, der um eine (hinreichend gutartige) Multiplikation erweitert wurde.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Algebra A über einem Körper K oder kurz K-Algebra ist ein K-Vektorraum mit einer K-bilinearen Verknüpfung

 A\times A\to A,

Multiplikation genannt, die durch x · y oder xy symbolisiert wird. (Diese Verknüpfung ist unabhängig von der Multiplikation im Körper und derjenigen von Körperelementen mit Vektoren; die Verwendung desselben Symbols führt jedoch nicht zu Verwechslungen, da aus dem Kontext hervorgeht, welche Verknüpfung gemeint ist.)

Explizit bedeutet die Bilinearität, dass für alle Elemente x, y, z von A und alle Skalare λ in K gilt:

  •  (x+y)\cdot z = xz + yz
  •  x\cdot(y+z) = xy + xz
  •  \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y)

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann K ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen, und man erhält eine Algebra über einem kommutativen Ring.

Unteralgebren und Ideale

Eine Unteralgebra U einer Algebra A über einem Körper K, ist ein Unterraum von A, der neben der Addition und der Multiplikation mit einem Skalar (also einem Element von K) auch unter der in A definierten Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. u, v ∈ U ⇒ uv ∈ U. U ist dann eine eigenständige Algebra. Zum Beispiel sind die reellen, nicht aber die imaginären Zahlen eine Unteralgebra der komplexen Zahlen.

Ist darüber hinaus

v ∈ U ⇒ av ∈ U

mit einem beliebigen Element a von A, so heißt U ein linksseitiges Ideal von A. Entsprechend heißt U, falls

v ∈ U ⇒ va ∈ U

rechtsseitiges Ideal von A. Ist beides der Fall oder gar A kommutativ, so heißt U einfach ein Ideal von A. Falls die Algebra A keine Ideale besitzt, heißt sie einfach.

Weitere Attribute und Beispiele

Assoziative Algebren

Eine assoziative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Assoziativgesetz gilt und die somit ein Ring ist. Beispiele:

 (f\cdot g)(x) := f(x)\cdot g(x),\qquad f,g:M\to K, x\in M

Funktionenalgebren sind assoziativ, weil die zugrunde liegende Körpermultiplikation assoziativ ist.

  • Eine Körpererweiterung von K ist eine assoziative Algebra über K. So ist z.B. \R eine \Q-Algebra und \C kann als \Q-Algebra oder als \R-Algebra betrachtet werden.

Kommutative Algebren

Eine kommutative Algebra ist eine K-Algebra, in der für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt. Beispiele:

  • Im mathematischen Teilgebiet Kommutative Algebra werden Algebren betrachtet, die assoziativ und kommutativ sind. Dazu gehören die oben genannten Polynomalgebren, die Funktionenalgebren und die Körpererweiterungen.
  • Genetische Algebren sind kommutative Algebren mit einigen zusätzlichen Eigenschaften, in denen das Assoziativgesetz im Allgemeinen nicht erfüllt ist.

Unitäre Algebren

Eine unitäre Algebra ist eine Algebra mit einem neutralen Element der Multiplikation, dem Einselement (vgl. unitärer Ring). Beispiele:

  • Matrizenalgebren mit der Einheitsmatrix als Einselement.
  • Jede Gruppenalgebra ist unitär: das Einselement der Gruppe ist auch Einselement der Algebra.
  • Das konstante Polynom 1 ist Einselement einer Polynomalgebra.
  • Der Körper K mit seiner Körpermultiplikation als Algebra-Multiplikation ist als K-Algebra assoziativ, kommutativ und unitär.

Wenn das aus dem jeweiligen Kontext klar ist, werden die Eigenschaften „assoziativ“, „kommutativ“ und „unitär“ in der Regel nicht explizit genannt.

Nicht-assoziative Algebren

Manche Autoren bezeichnen eine K-Algebra als nicht-assoziativ, wenn das Assoziativgesetz nicht vorausgesetzt wird[2]. (Diese Begriffsbildung führt allerdings zu der etwas verwirrenden Konsequenz, dass insbesondere jede assoziative Algebra auch nicht-assoziativ ist.) Einige Beispiele für Algebren, die nicht notwendigerweise assoziativ sind:

  • Eine Divisionsalgebra ist eine Algebra, in der man „dividieren“ kann, d.h. in der alle Gleichungen ax = b und ya = b für a ≠ 0 stets eindeutig lösbar sind. Eine Divisionsalgebra muss weder kommutativ noch assoziativ noch unitär sein.
  • Der reelle Vektorraum \mathbb{R}^3 mit dem Kreuzprodukt. Diese reelle Algebra ist insbesondere eine Lie-Algebra.
  • Eine Lie-Algebra ist eine Algebra, in der die beiden folgenden Bedingungen gelten (in Lie-Algebren wird das Produkt meist als [x,y] geschrieben):
  • Eine Baric-Algebra ist eine Algebra A, für die es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus w:A\longrightarrow K gibt.

Einzelnachweise

  1. siehe z.B. bei Dickson (1905), http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dickson_linear_algebras.html
  2. siehe z.B. R. Lidl und J. Wiesenbauer, Ringtheorie und ihre Anwendungen, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9, Seite

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Algebra über einem kommutativen Ring — Als Algebra über einem kommutativen Ring oder R Algebra (wobei R ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen… …   Deutsch Wikipedia

  • Modul über einem Ring — Links oder Rechts Modul berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra ist Spezialfall von additive Abelsche Gruppe trägt Operation eines Rings …   Deutsch Wikipedia

  • Algebra (Struktur) — Algebra über einem Körper berührt die Spezialgebiete Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebra ist Spezialfall von Algebraische Struktur Vektorraum …   Deutsch Wikipedia

  • Algebra (Begriffsklärung) — Algebra bezeichnet in der Mathematik: Algebra, ein Teilgebiet der Mathematik mit den weiteren Teilgebieten Elementare Algebra Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebra Universelle Algebra Computeralgebra Außerdem bezeichnet man mit… …   Deutsch Wikipedia

  • Körper (Algebra) — Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division wie bei den „normalen“ reellen Zahlen durchgeführt werden können. Die Bezeichnung… …   Deutsch Wikipedia

  • Algebra — Al|ge|bra [ algebra], die; : Teilgebiet der Mathematik, das sich besonders mit Gleichungen und mit den Verknüpfungen mathematischer Strukturen befasst: eine Eins in Algebra haben. * * * Ạl|ge|bra auch: Ạl|geb|ra 〈österr. [ ′ ] f.; ; unz.; Math.〉… …   Universal-Lexikon

  • Algebra — Aryabhata I …   Deutsch Wikipedia

  • Algebra (Mengensystem) — In der Mathematik ist eine (Mengen )Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs und komplementstabil ist (Ereignissystem). Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur …   Deutsch Wikipedia

  • Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I — Der gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Theorien. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit… …   Deutsch Wikipedia

  • Körper — Leib; Corpus (lat.); Korpus * * * Kör|per [ kœrpɐ], der; s, : 1. Organismus eines Lebewesens, der die jeweilige Erscheinung, Gestalt eines Menschen oder Tieres ausmacht: der menschliche, ein schöner Körper; den ganzen Körper waschen; ein… …   Universal-Lexikon

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”