UHF-Algebra

UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Inhaltsverzeichnis

Konstruktion

Es bezeichne Mn die C*-Algebra der komplexen n\times n-Matrizen. Ist n ein Teiler von m, so sei \iota:M_n\rightarrow M_m derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus Mn auf diejenige m\times m-Matrix abbildet, die aus m / n Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel


M_2 \rightarrow M_6, 
\begin{pmatrix}  x_{11} & x_{12}\\  
                            x_{21} & x_{22}  \end{pmatrix} 
\mapsto 
\begin{pmatrix}  x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
                            x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
                            0 & 0 &  x_{11} & x_{12} & 0 & 0 \\
                            0 & 0 &  x_{21} & x_{22} & 0 & 0 \\
                            0 & 0 & 0 & 0 &  x_{11} & x_{12} \\
                            0 & 0 & 0 & 0 &  x_{21} & x_{22}
                            \end{pmatrix}
.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man Mn in diesem Sinne als Unterlagebra von Mm auffassen, und statt ι schreiben wir einfach M_n\subset M_m.

Ist nun \vec n = (n_k)_{k\in \N} eine Folge natürlicher Zahlen \ge 2, so erhält man eine Kette von Inklusionen:

 M_{n_1} \subset M_{n_1 \cdot n_2} \subset M_{n_1 \cdot n_2 \cdot n_3} \subset \ldots .

Auf der Vereinigung \bigcup_{k=1}^\infty M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k} gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k} fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang \vec n nennt. [1]

Eigenschaften

Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge \vec n = (n_k)_{k\in \N} ab. Zu jeder Primzahl p sei \delta_{\vec n}(p)\in \N\cup \{\infty\} das Supremum aller n\in \N, so dass pn ein Teiler von  n_1 \cdot \ldots \cdot n_k, wobei k gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge \vec n die Folge \delta_{\vec n}=(\delta_{\vec n}(p))_p zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als \prod_p p^{\delta_{\vec n}(p)} schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; p durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt [2]

  • Zwei UHF-Algebren vom Rang \vec n bzw. \vec m sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls \delta_{\vec n}(p) = \delta_{\vec m}(p) für alle Primzahlen p.

Dieser Satz findet sich bereits in [3]. Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist \vec n = (n_k)_{k\in \N} der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

 \begin{matrix}
& \rightrightarrows & & \rightrightarrows & & \rightrightarrows &\\
n_1& \vdots & n_1\cdot n_2 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\ldots \\
& \underbrace{\rightarrow}_{n_2\, mal} & & \underbrace{\rightarrow}_{n_3\, mal} && \underbrace{\rightarrow}_{n_4\, mal}
\end{matrix} .

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K0-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu[4]

\{\frac{a}{b};\, a,b\in \Z, b\neq 0, b|n_1 \cdot\ldots\cdot n_k \mbox{ für ein }k\in \N\} \subset \Q

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.

Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzähbar viele paarweise nicht-äquivalente irreduzible Darstellungen.[5]

Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra A besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional τ mit \tau(x^*x) \ge 0, τ(1) = 1 und τ(xy) = τ(yx) für alle Elemente x,y\in A. Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung \pi_\tau:A\rightarrow L(H) auf einem Hilbertraum H. Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes \pi_\tau(A)^{''}\subset L(H) ein Typ II1-Faktor ist. [6].

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden.[7]. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl 2^\infty ist. In [8] werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

Einzelnachweise

  1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2
  2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6
  3. J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318-340
  4. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7
  6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4
  7. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3
  8. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15

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