Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus

Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans Hyperbolicus bzw. Kosekans Hyperbolicus. Als Funktionen werden sie \operatorname{arsech} oder seltener \operatorname{sech}^{-1} bzw. \operatorname{arcsch}(x) und seltener \operatorname{csch}^{-1}(x) geschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

\operatorname{arsech}(x)  = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1-x^2}}  {x} \right)
\operatorname{arcsch}(x)  = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1+x^2}}  {x} \right)

Eigenschaften

Graph der Funktion Areasecans Hyperbolicus
Graph der Funktion Areakosekans Hyperbolicus
  Areasecans Hyperbolicus Areakosekans Hyperbolicus
Definitionsbereich  0 < x \le 1   - \infty <  x < + \infty \, ; \, x\ne 0
Wertebereich  0  \le f(x) < + \infty  - \infty < f(x) < + \infty \, ; \, f(x) \ne 0
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton fallend x \ne 0 streng monoton fallend
Symmetrien keine Ungerade Funktion
f(x) = − f( − x)
Asymptote  f(x) \to 0  ;  x  \to +1  f(x) \to 0  ;  x \to \pm \infty
Nullstellen x = 1 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen x = 0 x = 0
Extrema keine keine
Wendepunkte  x = \frac{1}{2}\sqrt{2} keine

Spezielle Werte

Es gilt:

\operatorname{arcsch}\, 2=\ln\phi

wobei \!\ \phi den goldenen Schnitt bezeichnet.

Reihenentwicklungen

\begin{alignat}{2} \operatorname{arsech}(x) &= \ln \left(\frac{2}{x}\right) -\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!! x^{2k}}{(2k)!! 2k } & \qquad \mathrm{f\ddot ur}\, 0<x<1
\\ \operatorname{arcsch}(x) &= \sum^{\infty}_{k=1} \frac{P_{k-1}(0)}{k}x^k 
\\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^n \cdot (\tfrac12)_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}\,x^{1-2k}
\end{alignat}

Dabei ist Pk das k-te Legendre-Polynom und (\tfrac12)_n steht für das Pochhammer-Symbol.

Ableitungen

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}{\rm arsech}(x)= - \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}.
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\operatorname{arcsch}(x)= -\frac {1}{x\sqrt{1+x^2}}.

Integrale

\int\operatorname{arsech}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arsech}(x) - \arctan\left(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right)
\int\operatorname{arcsch}(x)\, \mathrm dx = x\cdot\operatorname{arcsch}(x) + \ln\left( x+x\sqrt {1+{x}^{-2}}\right)

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