Arkustangens und Arkuskotangens

Der Arkustangens – geschrieben arctan, atan, neuerdings auch tan  − 1[1]) – sowie Arkuskotangens – geschrieben arccot, acot, neuerdings auch cot  − 1[2] – sind die Umkehrfunktionen der eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktion: Da Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind, muss dabei zu ihrer Umkehrung der ursprüngliche Definitionsbereich des Tangens auf das Intervall \left]-\pi/2; \pi/2\right[ sowie der des Kotangens auf das Intervall ]0;π[ beschränkt werden.

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise f − 1 beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise tan  − 1 die klassische Schreibweise arctan  zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Graph der Funktion arctan(x)
Graph der Funktion arccot(x)
Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich x\in\mathbb R x\in\mathbb R
Wertebereich -\tfrac{\pi}{2} < f(x) < \tfrac{\pi}{2} 0 < f(x) < π
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
arctan( − x) = − arctan x
Punktsymmetrie zu \left(x = 0, y = \tfrac{\pi}{2}\right)
arccot x = π − arccot( − x)
Asymptoten f(x) \to\pm \tfrac{\pi}{2} für x \to\pm\infty f(x) \to \pi für x \to -\infty
f(x) \to 0 für x \to + \infty
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte (0;0) \left(0; \tfrac \pi 2 \right)

Spezielle Werte

x 0\!\, 2-\sqrt3 \sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5} \sqrt2-1 \textstyle\frac13\sqrt3 \sqrt{5-2\sqrt5} 1\!\, \sqrt3 \infty
arctan(x) 0\!\, \frac{\pi}{12} \frac{\pi}{10} \frac{\pi}{8} \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{5} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}

Wegen der Punktsymmetrie gelten die entsprechenden Wertepaare auch im Negativen. Solche speziellen Werte gibt es unendlich viele, aufgelistet sind nur die einfachsten.

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \cdots

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\arccot x= \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac{\pi}{2}- x + \frac13 x^3 - \frac15 x^5 + \frac17 x^7- \cdots

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn |x| \le 1 und x\neq\pm i ist. Zur Berechnung des Arkustangens für |x| > 1\!\, kann man ihn auf einen Arkustangens von kleineren Argumenten zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung hernehmen, oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung


\arctan x = 2\arctan\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

Hiermit lässt sich das Argument nach mehrfacher Anwendung beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht.

Berechnung der Kreiszahl \boldsymbol{\pi}\!\, mit Hilfe des Arkustangens

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall x = 1, die Leibniz-Formel

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots

Da sie nur sehr langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die kompliziertere Formel

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Funktionalgleichung

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

\arctan \frac{1}{x} = \sgn(x)\cdot\frac{\pi}{2} - \arctan x

Die Arkuskotangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

\arccot \frac{1}{x} = (2-\sgn(x))\frac{\pi}{2} - \arccot x

Ableitungen

Arkustangens:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b) = \frac{a}{1+(ax+b)^2}

Arkuskotangens:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(x) = -\frac{1}{1+x^2}.
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(ax+b) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arctan(ax+b)= - \frac{a}{1 + (ax+b)^2}

Stammfunktionen

Arkustangens:

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

\frac1{ax^2+bx+c}.

Ist die Diskriminante D = b2 − 4ac nicht negativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

u=\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}

in die Form

\frac{4a}{-D}\,\frac1{1+u^2}

bringen; eine Stammfunktion ist also

\frac2{\sqrt{-D}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}.

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm dx = x \, \arctan \frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).

Arkuskotangens:

F(x) = x \, \arccot x + \frac{1}{2}\, \ln \left( 1 + x^2 \right) + C
 \int \arccot \frac{x}{a} \, \mathrm dx= x \, \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \, \ln(a^2 + x^2)

Komplexes Argument


\arctan(a+b\,\mathrm{i}) = \left\{
\begin{array}{ll} \displaystyle
\frac12 \!\left(\arctan \frac{a^2+b^2-1}{2a} + \frac\pi2 \sgn(a) \right)
 & \; a\neq0 \\
0
 & \; a=0,\, |b|\leq1 \\ \displaystyle
\frac\pi2 \sgn(b)
 & \; a=0,\, |b|>1 \\
\end{array} \right\}

+ \mathrm{i} \cdot \frac12 \operatorname{artanh} \frac{2b}{a^2+b^2+1}
  mit  a,b \in \mathbb{R}
\arccot(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arctan(a+b\,\mathrm{i})

Anmerkungen

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i} = \frac{1}{2\mathrm i} \ln \frac{1+\mathrm iz}{1-\mathrm iz}

für z in der 2-fach geschlitzten Ebene: z \in \mathbb C ^= := 
\mathbb C\backslash \{ iy \, | \, y \in \mathbb R, |y| \geq 1 \}

Arkuskotangens:

Man kann den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arccot z=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i}

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

 \arccot z = \frac{\pi}{2} - \arctan z

Näherungsweise Berechnung

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten[3]:

 \arctan x \approx \frac{x}{1 + 0{,}28x^2} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \le 1
 \arctan x \approx \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x > 1
 \arctan x \approx - \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x < -1

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

 \arccot x \approx \frac{3x}{3x^2-1} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \gg 1

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten P(x;y) in Polarkoordinaten P(r;φ) der Ermittlung des Winkels φ. Da der einfache Arkustangens nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von \pm \tfrac{\pi}{2} nicht umkehrbar ist, gibt es in vielen Programmiersprachen eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit \operatorname{atan2}(y,x) bezeichnet.

Die Funktion \operatorname{atan2}(y,x) kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind x,y reelle Zahlen und r=\sqrt{x^2+y^2}, so gilt:

x = r\cdot\cos(\operatorname{atan2}(y,x))
y = r\cdot\sin(\operatorname{atan2}(y,x))

\Big(r,\operatorname{atan2}(y,x)\Big) sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten (x,y).

Definition

Darstellung von atan2(y,x) für x≠0

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

\operatorname{atan2}(y,x) := \begin{cases}
\arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\
\arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\
\arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\
+\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\
-\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\
0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0
\end{cases}

Für x = y = 0 ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie Not a Number und Inf werden unterschiedlich behandelt.

Wertebereich

Bei der o. g. Definition:

-\pi < \operatorname{atan2}(y,x) \le \pi

Anmerkungen

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion \operatorname{atan2}(y,x) für (x,y) ≠ (0,0) über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:


\operatorname{atan2}(y,x) =\arg(x+\mathrm i\,y) =\frac{1}{\mathrm i}\ln\frac{x+\mathrm i\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können.

Einzelnachweise

  1. Weisstein, Eric W. "Inverse Tangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html
  2. Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html
  3. Weitere Approximationen (en)

Siehe auch

Weblinks

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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