Arkussinus und Arkuskosinus

Der Arkussinus - geschrieben arcsin, asin, und Arkuskosinus - geschrieben arccos, acos,sind die Umkehrfunktionen der eingeschränkten Sinus- und Kosinusfunktion: Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, muss dabei zu ihrer Umkehrung der ursprüngliche Definitionsbereich des Sinus auf das Intervall [ − π / 2;π / 2] sowie der des Kosinus auf das Intervall [0;π] beschränkt werden.

Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise f − 1 beginnen dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen sin  − 1 und cos  − 1 die klassische Schreibweise arcsin  bzw. arccos  zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Kosinus und Sinus (Sekans und Kosekans) führen kann.[1]

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Die Sinusfunktion ist -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung \sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]} betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit

\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von cos  | [0,π]. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion

\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi],

die sich mittels \arccos x =  \frac{\pi}{2} - \arcsin x ineinander umrechnen lassen.

Eigenschaften

  Arkussinus Arkuskosinus
Funktions-
Graphen
Arcsin.svg Arccos.svg
Definitionsbereich x\in [-1,1] x\in [-1,1]
Wertebereich -\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2} 0\le f(x) \le\pi
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion: \arcsin(-x) = -\arcsin(x)\! Punktsymmetrie zu \left(x=0\;,\;y =\tfrac{\pi}{2}\right),
\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!
Asymptoten f(x) \to\pm \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1 f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2} für x \to\pm 1
Nullstellen x = 0\! x = 1\!
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte x = 0\! x = 0\!

Formeln für negative Argumente

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,
\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)} = x \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4}\cdot\frac{x^5}{5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\cdot\frac{x^7}{7} \;+\; \ldots

Der Ausdruck k!! bezeichnet dabei die Doppelfakultät.

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung \arccos x =  \frac{\pi}{2} - \arcsin x  :

\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^k(2k+1)}

Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.

Integraldarstellungen

Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:

 \arcsin(x) = \int \limits_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}}
 \arccos(x) = \int \limits_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}}

Verkettungen mit Sinus und Kosinus

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arccos(x)\! gilt y\in \left[ 0, {\pi} \right] und \sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}.
\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}, denn für y=\arcsin(x)\! gilt y\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] und \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}.
\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}.
\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, denn für y=\arctan(x)\! gilt y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ und \cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}.

Beziehung zum Arkustangens

Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende beiden Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Auf Grund obiger Formeln gilt:

 \arcsin(x) = \sgn(x) \cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}} \right)
 \arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sgn(x) \cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}} \right) .

Ableitungen

Arkussinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Arkuskosinus
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = -  \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Umrechnung
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x)  = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)

Integrale

Arkussinus
\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C
Arkuskosinus
 \int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right)  - \sqrt{ a^2 - x^2} + C

Komplexe Argumente

\begin{align}
\arcsin(a+b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\sgn{a}}{2} \cdot \arccos & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} - (a^2+b^2) \right) \\
+\;\mathrm{i} \cdot \frac{\sgn{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2) \right)
\end{align}   mit  a,b \in \mathbb{R}
\arccos(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a+b\,\mathrm{i})

Wobei für die Signumfunktion gilt \sgn{x} := \begin{cases} +1 & \; x\geq0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}, zur Funktion arcosh siehe Areakosinus Hyperbolicus!

Anmerkungen

Besondere Werte

x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arcsin(x) -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{6} 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
x − 1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
arccos(x) π \frac{5 \pi}{6} \frac{3 \pi}{4} \frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{6} 0

Kettenbruchdarstellung des Arkussinus

H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Kettenbruchdarstellung:

\arcsin(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1-\cfrac{1\cdot 2x^2}{3-\cfrac{1\cdot 2x^2}{5-\cfrac{3\cdot 4x^2}{7-\cfrac{3\cdot 4x^2}{9-\cfrac{5\cdot 6x^2}{11-\ldots}}}}}}

Sonstiges

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right)
\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. Weisstein, Eric W. "Inverse Trigonometric Functions." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Arkuskosinus — Der Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion; der Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen …   Deutsch Wikipedia

  • Arkussinus — Der Arkussinus (geschrieben arcsin, asin oder sin − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Sinusfunktion; der Arkuskosinus (geschrieben arccos, acos oder cos − 1) ist die Umkehrfunktion der eingeschränkten Kosinusfunktion. Beide Funktionen …   Deutsch Wikipedia

  • Kosinus und Sinus — Graphen der Sinus und der Cosinusfunktion Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen aus der Klasse der trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus sind grundlegend in allen… …   Deutsch Wikipedia

  • Sinus und Kosinus — Graphen der Sinusfunktion (rot) und der Kosinusfunktion (blau). Beide Funktionen sind 2π periodisch und nehmen Werte von −1 bis 1 an. Sinus und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen. Vor Tangens und… …   Deutsch Wikipedia

  • Arkustangens und Arkuskotangens — Der Arkustangens – geschrieben arctan, atan, neuerdings auch tan  − 1[1]) – sowie Arkuskotangens – geschrieben arccot, acot, neuerdings auch cot  − 1[2] – sind die Umkehrfunktionen der eingeschränkten Tangens und Kotangensfunktion: Da… …   Deutsch Wikipedia

  • Tangens und Kotangens — Schaubild Tangens (im Bogenmaß) Schaubild Kotangens (im …   Deutsch Wikipedia

  • Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus — gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans Hyperbolicus bzw. Kosekans Hyperbolicus. Als Funktionen werden sie oder seltener bzw. und seltener geschrieben …   Deutsch Wikipedia

  • Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus — Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt , , ; seltener auch ) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt , , ; seltener auch …   Deutsch Wikipedia

  • Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus — sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area Funktionen. Schreibweisen: Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechselung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko)Tangens zu vermeiden. Es ist …   Deutsch Wikipedia

  • Arkussekans und Arkuskosekans — sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”