Arkussekans und Arkuskosekans

Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen. Da die Sekans- und die Kosekansfunktion periodisch sind, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf \lbrack 0\, ,\, \pi \rbrack , und der Definitionsbereich von Kosekans auf \lbrack - {\pi / 2 },\, \pi / 2 \rbrack beschränkt. Der Arkussekans wird mit \operatorname{arcsec}\,(x) bezeichnet und der Arkuskosekans mit \operatorname{arccsc}\,(x). Seltener, vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen sec  − 1(x) und csc  − 1; sie bedeuten aber nicht, dass \operatorname{arcsec} bzw. \operatorname{arccsc} die Kehrwerte von sec  und csc  sind.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

  Arkussekans Arkuskosekans
Funktions-
Graphen
Arcsecant.svg Arccosecant.svg
Definitionsbereich  -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty  -\infty < x \le -1 \, , \, 1 \le x < +\infty
Wertebereich  0 \le f(x) \le \pi  - \frac{\pi}{2} \le f(x) \le \frac{\pi}{2}
Monotonie In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Punkt x = 0 , y = \frac{\pi}{2} Ungerade Funktion \operatorname{arccsc}\,(x)=-\operatorname{arccsc}\,(-x)
Asymptoten f(x) \to \frac{\pi}{2} für x \to\pm\infty f(x) \to 0 für x \to\pm\infty
Nullstellen x = 1\!\, keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema Minimum bei \left(1|0\right), Maximum bei \left(-1|\pi\right) Minimum bei \left(-1|-\frac\pi2\right), Maximum bei \left(1|\frac\pi2\right)
Wendepunkte keine keine

Reihenentwicklungen

Die Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind:

\arcsec(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}}{(2k)!! \cdot (2k+1) } \approx \frac{\pi}{2} - x^{-1} - \frac{1}{6} x^{-3} - \frac{3}{40} x^{-5}
\arccsc(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!! x^{-(2k+1)}}{(2k)!! \cdot (2k+1)} = \frac{1}{x} \;+\; \frac{1}{2\cdot3x^3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4\cdot5x^5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6\cdot7x^7} \;+\; \ldots

Integraldarstellungen

Für den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen:

 \arcsec(x) = \int \limits_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t^2 - 1}}
 \arccsc(x) = \int \limits_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t \sqrt{t^2 - 1}}

Ableitungen

Die Ableitungen sind gegeben durch:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arcsec}\,(ax+b) =  \frac{a}{|ax+b| \sqrt{(ax+b)^2 - 1}}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{arccsc}\,(ax+b) =  -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arcsec}\,(ax+b) =  - \frac{a}{|ax+b| \sqrt{(ax+b)^2 - 1}}

Integrale

\int\operatorname{arcsec}\,(x)\,\mathrm{d}x=x \cdot \operatorname{arcsec}\,(x) -\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)
\int\operatorname{arccsc}\,(x)\,\mathrm{d}x=x\cdot\operatorname{arccsc}\,(x) +\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

 \operatorname{arcsec}\,(x)=\operatorname{arccos}\left(\frac{1}{x}\right)
 \operatorname{arccsc}\,(x)=\operatorname{arcsin}\left(\frac{1}{x}\right)

Siehe auch

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