Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel x2y2 = 1 im Punkt (\cosh\,A,\sinh\,A), wobei A für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die x-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (circulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; als Funktionen tragen sie die Symbole sinh  bzw. cosh . Der Kosinus Hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

  • Sinus Hyperbolicus
\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right) = -i\,\sin(i\,x)
  • Kosinus Hyperbolicus
\cosh x =  \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right) = \cos(i\,x)

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Funktion ex.

Eigenschaften

Sinus Hyperbolicus (rot) und Kosinus Hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus Hyperbolicus Kosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty
Wertebereich  - \infty < f(x) < + \infty  1 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x ≤ 0 streng monoton fallend
x ≥ 0 streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
 a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}  a_1(x) = \frac{1}{2}e^{\ x}
 a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{\ -x}  a_2(x) = \frac{1}{2}e^{\ -x}
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei x = 0
Wendestellen x = 0 keine

Spezielle Werte

\sinh(\ln\Phi) =\tfrac12 mit dem goldenen Schnitt Φ

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktion des Sinus Hyperbolicus nennt man Areasinus Hyperbolicus:

\operatorname{arsinh}\ x:= \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ .

Die Umkehrfunktion des Kosinus Hyperbolicus nennt man Areakosinus Hyperbolicus:

\operatorname{arcosh}\ x:= \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ .

Ableitungen

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus ist der Kosinus Hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus ist der Sinus Hyperbolicus:


\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x  &= \cosh x\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x  &= \sinh x
\end{align}

Stammfunktionen


\begin{align}
\int \sinh x \, dx &= \cosh x + C\\
\int \cosh x \, dx &= \sinh x + C
\end{align}

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)

\cosh^2 x \!\, - \sinh^2 x = 1
\cosh x \,\; + \sinh x \,\,= e^{x} (Eulersche Identität)
\cosh({\rm arsinh}(x)) = \sqrt{x^2 + 1}
\sinh({\rm arcosh}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} (Hyperbelgleichung)

Additionstheoreme


\begin{align}
\sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\
\cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y
\end{align}

insbesondere gilt für x = y:


\begin{align}
\sinh 2x &= 2\cdot\sinh x \cosh x\ \\
\cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cdot \cosh^2 x - 1 = 2\cdot \sinh^2 x + 1
\end{align}

Summenformeln


\begin{align}
\sinh x \pm \sinh y & = 2 \sinh \frac{x\pm y}2 \cosh\frac{x\mp y}2 \\
\cosh x + \cosh y & = 2 \cosh \frac{x + y}2 \cosh\frac{x-y}2 \\
\cosh x - \cosh y & = 2 \sinh \frac{x + y}2 \sinh\frac{x-y}2
\end{align}

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:


\begin{align}
\sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \dots\\
\cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots
\end{align}

Produktentwicklungen


\begin{align}
&\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right)
\qquad\qquad\quad\\
&\sinh \pi x = \pi x\cdot\prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{k^2}\right)\\
&\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)
\end{align}

Komplexe Argumente

Mit x,y \in \mathbb{R} gilt:


\begin{align}
\sinh(x+iy) &= \cos y \cdot \sinh x + i \cdot \sin y \cdot \cosh x\\
\cosh(x+iy) &= \cos y \cdot \cosh x + i \cdot \sin y \cdot \sinh x\\
\sin(x+iy) &= \sin x \cdot \cosh y + i \cdot \cos x \cdot \sinh y\\
\cos(x+iy) &= \cos x \cdot \cosh y - i \cdot \sin x \cdot \sinh y\\
\end{align}

Begründung für die Änderung:


\begin{align}

z=(x+i \cdot y) \\
\exp(iz) &= \cos(x+iy) + i \cdot \sin(x+iy)\\
&= \exp(i \cdot (x+i \cdot y))\\
&= \exp(i \cdot x) \cdot \exp(i \cdot (i \cdot y))\\
&=(\cos(x) \cos(iy)- \sin(x) \sin(iy))+i \cdot ( \cos(x) \sin(iy) + \sin(x) \cos(iy) )\\
&=(\cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y))+i \cdot ( \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) )\\

\end{align}


Durch Koeffizientenvergleich folgt:


\begin{align}

\cos(x+iy) = \cos(x) \cosh(y)- i \cdot \sin(x) \sinh(y) \\
\sin(x+iy) = \sin(x) \cosh(y) + i \cdot \cos(x) \sinh(y) \\

\end{align}

Bemerkung:

Ohne die Änderung des Vorzeichens wäre 
\begin{align}

\cos(z) \\

\end{align}
nicht analytisch, was die Funktion bekanntlich aber ist. Das kann man mit den Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen überprüfen.

Uneigentliches Integral

Für den Kosinus Hyperbolicus gilt insbesondere

 \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{\cosh x} = \pi.

Anwendungen

Lösung einer Differentialgleichung

Die Funktion

f(x)=a \cdot \sinh(x)+b \cdot \cosh(x) mit  a,b \in \mathbb{R}

löst die Differentialgleichung

f''(x) - f(x) = 0\ .

Kettenlinie

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-Hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-Transformation

Mit Hilfe der Rapidität θ kann man die Transformationsmatrix für einen Lorentzboost in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Lorentzboosts in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):


L = \begin{pmatrix}
 \cosh \theta & -\sinh \theta & 0 & 0\\
-\sinh \theta &  \cosh \theta & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen Lorentzboosts in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Kosmologie

Der Sinus Hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch a(t) = \left(\sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}} \sinh(t/t_{ch})\right)^{2/3}, wobei t_{ch} = \frac{2}{3 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0} eine charakteristische Zeitskala ist (H0 ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, ΩΛ,0 der Dichteparameter für die Dunkle Energie; die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen). Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus Hyperbolicus auf: ΩM(t) = cosh  − 2(t / tch).

Siehe auch

Weblinks


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